Enunciado

Como mostra a Fig. 13-55, duas esferas de massa m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo equilátero e uma quarta esfera de massa m 4 ocupa o centro do triângulo. A força gravitacional sobre essa esfera central é nula. (a) Qual é o valor de M em termos de m? (b) Se dobrarmos o valor de m 4 , qual será o novo módulo da força gravitacional a que está submetida a esfera central?

Passo 1

(a) Temos que a força gravitacional é dada por:

F = G m 1 m 2 r 2

Se estamos estudando a força gravitacional em m 4 , precisamos saber das distâncias de cada esfera para m 4 . Mas, como temos um triângulo equilátero e as massas estão nos vértices, as distâncias de cada esfera até m 4 será igual! Vamos chamar de r .

Além disso, o problema nos diz que a força resultante sobre m 4 é 0 . Essa força resultante é a soma de todas as forças gravitacionais:

Onde F M → é a força gravitacional que a esfera de massa M exerce sobre m 4 e F m 1 → e F m 2 → são as forças que as esferas de massa m exercem sobre m 4 , que são iguais em módulo.

Pela imagem, vemos que a F M → será contrária as outras duas. Com isso:

F r → = 0

F M → + F m 1 → + F m 2 → = 0

F M → = - F m 1 → + F m 2 →

Então, a força que vai anular a F M → é resultado da soma das componentes verticais de F m 1 → e F m 2 → (isso porque as horizontais se anulam), ou seja, F m y = F m 1 cos ⁡ 60 ° = F m 2 cos ⁡ 60 ° , onde vimos que F m 1 = F m 2 (iguais em módulo por serem as mesmas massas em distâncias iguais). Podemos ver isso nessa imagem:

Então:

F M = F m y + F m y

Substituindo as forças pela fórmula ali de cima:

G m 4 M r 2 = G m 4 m r 2 c o s ⁡ ( 60 ° ) + G m 4 m r 2   c o s ⁡ ( 60 ° )

G m 4 M r 2 = 2 G m 4 m r 2 c o s ⁡ ( 60 ° )

Repare que G m 4 r 2 aparece em todos os termos. Logo, podemos simplificar esse cara. Isso quer dizer que a força resultante sobre m 4 não depende da massa de m 4 (guarde isso para a próxima letra) e, sendo distâncias iguais, também não depende das distâncias até as esferas!! Vamos ficar com:

M = 2 m   c o s ⁡ ( 60 ° )

Como cos ⁡ 60 ° = 1 2 :

M = 2 m 1 2

M = m

Passo 2

(b) Vimos no passo anterior que a força resultante sobre m 4 não vai depender do seu valor!! Então, se m 4 dobrar, a força sobre ele não se altera. Isso porque todas as forças agindo sobre essa massa também irão dobrar e, consequentemente, continuarão se cancelando! Logo, continua sendo nula:

F R = 0

A força gravitacional sobre m 4 será nula.

Resposta

(a) M = m

(b) F R = 0

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