Enunciado

A integral, com limite inferior a fixo e limite superior x variável, define uma função de x ,

F x = ∫ a x f x ' d x '

Mostre que

d F x d x = f ( x )

Passo 1

Bom, vamos ver um exemplo de integral de uma função para entender qual a ideia do cálculo de uma integral:

Supondo que queremos calcular a área azul ali.

Ao calcularmos a integral, estaremos somando todas as áreas desses retângulos, ok? Isso porque a integral significa um somatório! Então, se tivermos:

∫ a b d A

Estaremos calculando a soma de todas as áreas de retângulos embaixo da função, de um ponto a até um ponto b , ok??

Mas nós podemos escrever essa área do retângulo como b a s e × a l t u r a , certo? E qual a base de um desses retângulos? É o valor de uma variação em x , como estamos vendo retângulos beeeemmmm pequenos, seria um d x (infinitesimal). E qual o valor da altura? Ora, seria um valor da função num ponto x , logo f ( x ) . Então, a área de um retângulo seria:

d A = b a s e × a l t u r a

d A = d x × f ( x )

Ou melhor:

d A = f x d x

E:

d A d x = f x

Passo 2

Beleza! Mas a gente sabe, também, que nossa função Área ( A ) depende do limite superior da integral, que é varíavel ( x ). Se a gente integra d A dos dois lados, de um valor fixo a até esse variável x :

∫ a x d A = ∫ a x f x ' d x '

Como a integral de d A é a soma das áreas, teremos como resultado a própria área A :

A = ∫ a x f x ' d x '

E olha só!! Ela é igual a F ( x ) , portanto A x = ∫ a x f x '   d x = F x

Como:

d A d x = f x

O mesmo vale para F ( x ) , portanto:

d F x d x = f x

Obs.: essa é a ideia do Teorema Fundamental do Cálculo! 😊

Prontinho!! Provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A Figura 2.35 mostra a coordenada de uma aranha que se desloca lentamente ao longo do eixo Ox.a) Faça um gráfico de sua velocidade e aceleração em função do tempo. b) Faça um diagrama do movimento (co
Um microprocessador controla a posição do pára-choque dianteiro de um carro usado em um teste. A posição é dada por x t = 2,17 m + ( 4,80 m / s 2 ) t 2 - ( 0,100 m / s 6 ) t 6 . a) Determine sua posiç
A aceleração de um certo foguete é dada por a x = b t , onde b é uma constante positiva. (a) Encontre a função da posição x ( t ) se x = x 0 e v = v 0 x em t = 0 . (b) Encontre a posição e a velocidad
No intervalo de tempo de 0,0s até 10,0s , a aceleração de uma partícula viajando em uma linha reta é dada por a x = ( 0,20m / s 3 ) t . Considere que o sentido + x aponta para a direita. Inicialmente
Considere um objeto que está preso a um pistão que oscila horizontalmente. O objeto se move com velocidade dada por v = B sen ⁡ ω t , onde B e ω são constantes e ω está em s - 1 . (a) Explique porque