Enunciado

Mostre que  a magnitude da soma de dois vetores a ⃑ e b ⃑ está sempre compreendida entre os limites 

a ⃑ - b ⃑   ≤   a ⃑ + b ⃑   ≤   a ⃑ + b ⃑

Em que situações são atingidos os valores extremos?

Passo 1

Galera, pra avaliar a magnitude do vetor a ⃑ + b ⃑ vamos usar nosso querido produto escalar.

a ⃑ + b ⃑ 2 = a ⃑ + b ⃑ ⋅ a ⃑ + b ⃑

a ⃑ + b ⃑ 2 = a ⃑ ⋅ a ⃑ + 2 a ⃑ ⋅ b ⃑ + b ⃑ ⋅ b ⃑    

Olhando para essa expressão a gente imagina que o menor valor possível para o módulo do vetor a ⃑ + b ⃑ ocorre quando a ⃑   e   b ⃑ são paralelos, mas com sentidos opostos ( 180 ° entre eles), ou seja a ⃑ ⋅ b ⃑ = - 1 . Nesse caso

a ⃑ + b ⃑ 2 = a 2 - 2 a ⃑ b ⃑ +   b 2

a ⃑ + b ⃑ 2 = a ⃑ - b ⃑ 2

Ou seja, no caso mínimo

a ⃑ + b ⃑ = a ⃑ - b ⃑

Passo 2

Seguindo a mesma lógica, sabemos que quando a ⃑   e   b ⃑ tem o mesmo sentido ( 0 ° entre eles) ocorre o módulo máximo, pois a ⃑ ⋅ b ⃑ = + 1 .

a ⃑ + b ⃑ 2 = a ⃑ + b ⃑ 2

a ⃑ + b ⃑ = a ⃑ + b ⃑

Com isso, podemos dizer que o valor de a ⃑ + b ⃑ está compreendido entre o valor máximo e o mínimo:

a ⃑ - b ⃑   ≤   a ⃑ + b ⃑   ≤   a ⃑ + b ⃑

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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