Enunciado

O tubo A , que tem 1,2 m de comprimento e duas extremidades abertas, oscila na terceira frequência harmônica. Está cheio de ar, no qual a velocidade do som é 343 m / s .O tubo B , com uma das extremidades abertas, oscila na segunda frequência harmônica. A frequência de oscilação de B coicide com a de A . Um eixo x coincide com o eixo do tubo B , com x = 0 na extremidade fechada. ( a ) Quantos nós existem no eixo x ? Qual é ( b ) o menor e ( c ) o segundo menor valor da coordenada x   desses nós? ( d ) Qual é a frequência fundamental do tubo B ?

Passo 1

Vamos pensar no segundo harmônico de um tubo fechado (em uma das extremidades).

A fórmula que relaciona a frequência f n com seu harmônico n é

f n = ( 2 n - 1 ) 4 v L

Dá uma olhada no desenho que fica mais claro:

Na frequência fundamental temos 1 nó, e num total de um quarto de comprimento de onda. Na segunda frequência harmônica ( n = 2 ; f 2 ) observamos 2 nós e um total de 3 4 λ de comprimento de onda.

Na terceira frequência harmônica ( n = 3 ; f 3 ) observamos 3 nós e um total de 5 4 λ de comprimento de onda.

Então, como queremos analisar o segundo harmônico, temos 2   n ó s .

Passo 2

O menor valor é justamente na extremidade fechada, que coincide com a origem do eixo x , ou seja em x = 0 .

Passo 3

Para determinar o segundo menor valor, precisamos primeiro saber o tamanho do tubo B (vamos chamar de L B ).

Sabendo que f 3 A = f 2 B e que A é aberto e que B é fechado:

( 2 n ) 4 v L A = ( 2 n - 1 ) 4 v L B

( 2.3 ) 4 v 1,2 = ( 2.2 - 1 ) 4 v L B

Como a velocidade do som é a mesma nos dois tubos, podemos cancelar dos dois lados. Fazendo as continhas ficamos com:

( 6 ) 4 1 1,2 = ( 3 ) 4 1 L B

2 1,2 = 1 L B

2 L B = 1,2

L B = 1,2 2 = 0,6 m

Passo 4

Como sabemos que o segundo harmônico corresponde a 3 4 λ , então temos:

L B = 0,6 = 3 4 λ

λ = 0,8 m

Agora que sabemos o comprimento de onda vamos olhar de novo para o desenho lá do passo 1 .

Podemos ver aqui na direita que o segundo nó do segundo harmônico corresponde a meio comprimento de onda. Assim, se um comprimento de onda inteiro é 0,8 , o valor que queremos é a metade disso.

Ou seja, o segundo menor valos de x vai ser em x = 0,4 m

Passo 5

A frequência fundamental no tubo B vai ser dada por:

f n = ( 2 n - 1 ) 4 v L B

f 1 = ( 2.1 - 1 ) 4 343 0,6 = 142,91 H z

Resposta

a 2   n ó s

b x = 0

c x = 0,4 m

d 142,91 H z

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