Enunciado

Uma lente em um líquido. Uma lente obedece à lei de Snell, desviando os raios de luz em cada superfície com ângulos que dependem do índice de refração da lente e do índice de refração do material no qual a lente está imersa. (a) A Equação (34.19) supõe que a lente esteja circundada pelo ar atmosférico. Em vez disso, suponha que uma lente delgada esteja imersa em um líquido com índice de refração n l i q . Mostre que a distânia focal f ' pode então ser dada pela Equação (34.19) substituindo-se n por n / n l í q . (b) Uma lente delgada possui distância focal f e índice de refração n no vácuo. Use o resultado do item (a) para mostrar que, quando uma lente delgada está imersa em um líquido com índice de refração n l i q , sua nova distância focal é dada por

f ' = n l í q n - 1 n - n l í q f

Equação 34.19 :

1 f = n - 1 1 R 1 - 1 R 2

Passo 1

Já que estamos passando de um meio material para outro, vamos usar essa equação aqui:

n a s + n b s ' = n b - n a R

Para a primeira “metade” da lente, estamos indo do líquido com índice n l í q para a lente com índice n :

n l í q s 1 + n s 1 ' = n - n l í q R 1

Agora, a imagem que foi gerada na posição s 1 ' vai servir de objeto na posição s 2 = - s 1 ' para a segunda “metade” da lente.

Além disso, estamos indo da lente de índice n para o líquido n l í q :

n - s ' 1 + n l í q s 2 ' = n l í q - n R 2

Isso dá um sistema de duas equações:

n l í q s 1 + n s 1 ' = n - n l í q R 1 n - s ' 1 + n l í q s 2 ' = n l í q - n R 2

Passo 2

(a) Se a gente somar as duas equações, ficamos com esse resultado aqui:

n l í q s 1 + n s 1 ' - n s ' 1 + n l í q s 2 ' = n - n l í q R 1 + n l í q - n R 2

n l í q s 1 + n l í q s 2 ' = n - n l í q R 1 + n l í q - n R 2

Agora vamos mexer um pouco no lado direito da equação:

n l í q s 1 + n l í q s 2 ' = n - n l í q R 1 - n - n l í q R 2

n l í q s 1 + n l í q s 2 ' = n - n l í q 1 R 1 - 1 R 2

E então podemos dividir tudo por n l í q :

1 s 1 + 1 s 2 ' = n n l í q - 1 1 R 1 - 1 R 2

Esse termo aí do lado esquerdo é muito parecido com essa fórmula aqui:

1 s + 1 s ' = 1 f

Mas aplicado à lente inteira! Desde quando o objeto está em s 1 até quando a imagem é gerada em s 2 ' pela segunda “metade” da lente. Então:

1 f = n n l í q - 1 1 R 1 - 1 R 2

Passo 3

(b) Quando a lente está imersa no líquido, vale a fórmula que a gente acabou de demonstrar:

1 f ' = n n l í q - 1 1 R 1 - 1 R 2

E quando ela está imersa no ar, a fórmula é essa aqui:

1 f = n - 1 1 R 1 - 1 R 2

O termo no último parênteses é igual nos dois casos. Dá pra explorar isso pra escrever essa igualdade aqui:

f ' n n l í q - 1 = f n - 1

E agora é só reorganizar um pouco pra chegar na fórmula do enunciado:

f ' = n - 1 n n l í q - 1 f

Resolvendo a subtração de frações no denominador:

f ' = n - 1 n - n l í q n l í q f

f ' = n l í q n - 1 n - n l í q f

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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