Enunciado

Duas lentes de contato. (a) Prove que, quando duas lentes delgadas com distâncias focais f 1 e f 2 estão em contato, a distância focal f da combinção é dada por

1 f = 1 f 1 + 1 f 2

(b) Uma lente menisco convergente (Figura 34.32a) possui índice de refração igual a 1,55 e suas superficies apresentam raios de curvatura de 4,50   c m e 9,0   c m . A superfície côncava é colocada para cima e cheia com tetracloreto de carbono ( C C l 4 ), com n = 1,46 . Qual é a distância focal da combinação C C l 4 - v i d r o ?

Passo 1

Vamos começar escrevendo uma equação para a distância focal de cada lente:

1 s 1 + 1 s 1 ' = 1 f 1 1 s 2 + 1 s 2 ' = 1 f 2

O que vai acontecer aqui é o seguinte: o objeto vai estar na posição s 1 , e depois de passar pelas duas lentes vai gerar uma imagem na posição s 2 ' .

Então a distância focal da combinação segue essa fórmula aqui:

1 s 1 + 1 s 2 ' = 1 f

Mas tem um detalhe! Já que as duas lentes estão em contato, a gente pode afirmar o seguinte:

s 2 = - s 1 '

Ou seja, a imagem da primeira lente serve de objeto pra segunda. Como as lentes estão em contato, a posição só troca de sinal quando estamos passando do referencial de uma lente pra outra.

Passo 2

Então vamos lá. Reescrevendo o sistema com essa última informação, a gente fica com o seguinte:

1 s 1 + 1 s 1 ' = 1 f 1 - 1 s 1 ' + 1 s 2 ' = 1 f 2

Agora vamos somar as duas equações:

1 s 1 + 1 s 1 ' - 1 s 1 ' + 1 s 2 ' = 1 f 1 + 1 f 2

1 s 1 + 1 s 2 ' = 1 f 1 + 1 f 2

E esse termo aí na esquerda é exatamente a definição do 1 / f que a gente escreveu lá em cima:

1 f = 1 f 1 + 1 f 2

Pronto! Demonstramos a fórmula do enunciado.

Passo 3

(b) Tá, aqui claramente a gente vai ter que aproveitar a fórmula do item (a):

1 f c o m b = 1 f v i d r o + 1 f c a r b

Mas antes temos que calcular as distâncias focais de cada uma das lentes. A fórmula que vamos usar pra isso é essa aqui:

1 f = n - 1 1 R 1 - 1 R 2

Então, começando pelo vidro, ficamos com:

1 f v = 1,55 - 1 1 4,50 - 1 9,00

f v = 16,4   c m

E para o tetracloreto de carbono:

1 f v = 1,46 - 1 1 9,00 - 1 ∞

O que acontece aí é, quando a superfície côncava é “cheia” com o tetracloreto, ela passa a se comportar como uma superfície plana, por isso o raio de curvatura se torna infinito.

Resolvendo a expressão:

f v = 19,6   c m

Passo 4

Agora é só substituir os valores na fórmula de cima:

1 f c o m b = 1 f v i d r o + 1 f c a r b

1 f c o m b = 1 19,6 + 1 16,4

1 f c o m b = 0,112

f c o m b = 8,93   c m

Resposta

(a) Demonstração.

(b) A distância focal da combinação é 8,93   c m .

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