Enunciado

Uma linha de carga muito longa e uniforme possui carga por unidade de comprimento igual a 4,80   μ C e está ao longo do eixo x . Uma segunda linha, de carga longa e uniforme, possui carga por unidade de comprimento igual a - 2,40   μ C e está paralela ao eixo O x , em y = 0,400   m . Qual é o campo elétrico líquido (módulo, direção e sentido) nos seguintes pontos sobre o eixo O y : a   y = 0,200   m e b   y = 0,600   m ?

Passo 1

Utilizando a lei de Gauss dada por:

Φ E = ∮ E → ∙ d A → = Q ϵ 0

E, rearranjando-a:

E A = Q ϵ 0

Podemos supor uma superfície gaussiana bem semelhante à superfície da linha. Assim, temos que o campo elétrico será dado por:

E = Q A ϵ 0

Tal que a carga por unidade de comprimento é:

λ = Q l

E como a área é dada por:

A = 2 π r l

Então:

E = λ 2 π r ϵ 0

Passo 2

Dessa forma, como a primeira linha é positiva, seu campo elétrico apontará para cima (em direção ao ponto). Já a segunda linha que é negativa, terá seu campo elétrico no mesmo sentido (se afastando do ponto). Logo, o campo elétrico líquido será dado pela soma dos campos elétricos de cada linha:

E = E 1 + E 2

E = 1 2 π ϵ 0 λ 1 r 1 + λ 2 r 2

Portanto:

E = 1 2 π 8,854 × 10 - 12 C 2 N m 2 4,8 × 10 - 6   C / m 0,2 - 0 m + 2,4 × 10 - 6   C / m 0,4 - 0,2 m

E = 6,47 × 10 5   N C

Passo 3

Já para o segundo ponto, o campo elétrico da linha positiva também aponta para cima (e vai em direção ao ponto). No entanto, o campo da segunda linha irá para o sentido oposto, ou seja, para baixo (se afasta do ponto). Logo, como a distância da segunda linha ao ponto é menor, o seu campo elétrico será maior, tal que:

E = E 2 - E 1

E = 1 2 π 8,854 × 10 - 12 C 2 N m 2 2,4 × 10 - 6   C / m 0 , 6 - 0 , 4 m - 4,8 × 10 - 6   C / m 0 , 6 - 0 m

Portanto:

E = 7,19 × 10 4   N C

E o sentido do campo elétrico total é para baixo.

Resposta

a   6,47 × 10 5   N C para cima

b   7,19 × 10 4   N C para baixo

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