Enunciado

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Se uma linha de transmissão em um clima frio fica coberta de gelo, o aumento do diâmetro leva à formação de vórtices no vento que passa. As variações de pressão associadas aos vórtices podem fazer a linha oscilar (galopar), principalmente se a frequência das variações de pressão coincide com uma das frequências de ressonância da linha. Em linhas compridas, as frequências de ressonância estão tão próximas que praticamente qualquer velocidade do vento pode excitar um modo de ressonância com amplitude suficiente para derrubar as torres de sustentação ou curto-circuitar as linhas. Se uma linha de transmissão tem um comprimento de 347   m , uma massa específica linear de 3,35   k g / m e uma tensão de 65,2   M N , qual é (a) a frequência do modo fundamental e (b) a diferença de frequência entre modos sucessivos?

Passo 1

Enunciado bem longo, mas o que importa mesmo são as últimas informações.

O comprimento da linha é:

L = 347   m

A massa específica linear é:

μ = 3,35   k g / m

E a tensão é:

T = 65,2   M N = 65,2   .   10 6   N

O “ M ” é um símbolo para “Mega” que quer dizer 10 6 .

Quando a questão falar em tensão e massa específica, é melhor já calcular a velocidade:

v = T μ = 65,2.10 6 3,35 = 4,41   .   10 3   m / s

Passo 2

(a) Ok, agora queremos a frequência fundamental dessa linha de transmissão, sem problemas, a fórmula das frequências harmônicas é essa aqui:

f = n v 2 L

E a frequência fundamental acontece quando n = 1 , ou seja:

f 1 = v 2 L = 4,41.10 3 ( 2 ) ( 347 ) = 6,35   H z

Passo 3

(b) Agora queremos a diferença entre modos sucessivos.

Se tivermos um modo harmônico n , a frequência dele vai ser:

f n = n v 2 L

E, sucessivamente, o modo harmônico n + 1 vai ter frequência:

f n + 1 = n + 1 v 2 L

E a diferença entre eles vai ser:

Δ f = f n + 1 - f n

Δ f = n + 1 v 2 L - n v 2 L  

Δ f = v 2 L

Δ f = 4,41.10 3 ( 2 ) ( 347 ) = 6,35   H z

Não é por acaso que deu a mesma resposta da letra (a). A frequência fundamental também representa os “passos” com que a frequência aumenta de um harmônico para o outro.

Resposta

(a) f 1 = 6,35   H z

(b) Δ f = 6,35   H z

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