Enunciado

Física - Halliday - Vol 4 - Capítulo 36.Problemas Adicionais - Ex. 103

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Uma luz que consiste em uma mistura de dois comprimentos de onda, 500 e 600   n m , incide perpendicularmente em uma rede de difração. Deseja-se (1) que o primeiro e o segundo máximos para os dois comprimentos de onda sejam observados para θ   ≤   30 ° , (2) que a dispersão seja a maior possível e (3) que não exista a terceira ordem para a luz de 600   n m . (a) Qual deve ser a distância entre as fendas? (b) Qual é a menor largura das fendas que pode ser usada? (c) Para os valores calculados nos itens (a) e (b) e a luz de 600   n m , qual é o máximo de maior ordem produzido pela rede?

Passo 1

E aí meus caros(as)! A moda agora é a questão 101!

Bom! Temos aqui uma questão sobre redes de difração!

a) Nessa primeira letra, a gente tem que obter a distância entre as fendas!

Opa! E com nós mesmo! Chamando de d o espaçamento entre as fendas de uma rede de difração, pela equação 36-25, temos que...

d sen ⁡ θ = m λ  

Isolando sen ⁡ θ ...

sen ⁡ θ = m λ d

Uma das condições que nós temos é que...

θ   ≤   30 °

Agora, pensa só o seguinte! Quando a gente sai de um ângulo θ = 0 ° no circulo trigonométrico, conforme a gente aumenta o ângulo, o seno também aumenta. Já quando o ângulo diminui, o valor do seno também diminui. Sendo assim, podemos afirmar com certeza que...

sen ⁡ θ = m λ d ≤ sen ⁡ 30 °

Passo 2

Continuando nosso raciocínio, vamos ver o que acontece quando susbtituimos na fórmula anterior, as duas combinações disponíveis de m e λ , que são ( m = 1 ,   λ = 500   n m ) e ( m = 2 ,   λ = 600   n m ) .

Para m = 1 e λ = 500   n m , temos que...

1 ⋅ 500 ⋅ 10 - 9 d ≤ sen ⁡ 30 °

d ≥ 1000   n m

Já para m = 2 e λ = 600   n m ...

2 ⋅ 600 ⋅ 10 - 9 d ≤ sen ⁡ 30 °

d ≥ 2400   n m = 2,4   μ m

Pro nosso exercício aqui, vamos considerar a combinação de m = 2 e λ = 600   n m . Já que o objetivo é garantir a maior dispersão possível!

Como estamos interessados em que a dispersão seja a maior possível e, de acordo com a eq 36-30, D   =   m / ( d cos ⁡ θ )   , a dispersão é inversamente proporcional a d , precisamos escolher o menor valor possível de d ,que é 2,4   μ m .

Passo 3

b) A próxima missão é obter a menor largura das fendas que pode ser usada!

E bem! A gente tem que considerar o seguinte! Chamando de a a largura das fendas! Para que o máximo de terceira ordem para um comprimento de onda l seja o primeiro mínimo da figura de difração de uma fenda, é necessário que...

d sen ⁡ θ = 3 λ = 3 a sen ⁡ θ

Logo, temos que...

d sen ⁡ θ = 3 a sen ⁡ θ

d = 3 a

a = d 3

E uma vez que 2400   n m :

a = 2400   n m 3

a = 800   n m

Que beleza! Tamo quase terminando!

Passo 4

c) Pra esse último item aqui, a gente tem que descobrir o máximo de maior ordem considerando λ = 600   n m !

Pois muito bem! A gente sabe que...

sen ⁡ θ = m λ d

Logo, como o seno tem sempre que ser menor ou igual a 1 ...

sen ⁡ θ = m λ d ≤ 1

Uma vez que também temos a distância d = 2400   n m ...

m λ d ≤ 1

m ≤ d λ

m ≤ 2400   n m 600   n m

m ≤ 4

Assim, o máximo de maior ordem produzido pela rede é o máximo de ordem 4...

m m a x = 4

em que q é a posição angular da linha associada ao comprimen

Resposta

a)

d = 2400   n m

b)

a = 800   n m

c)

m m a x = 4

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