Enunciado

Uma partícula executa um MHS linear com uma frequência de 0,25 H z em torno do ponto x = 0 . Em t = 0 , a partícula tem um deslocamento x = 0,37 c m e velocidade nula. Determine os seguintes parâmetros do MHS: (a) período, (b) frequência angular, (c) amplitude, (d) deslocamento x t , (e) velocidade v t , (f) velocidade máxima, (g) módulo da aceleração máxima, (h) deslocamento em t = 3,0 s e (i) velocidade em t = 3,0 s

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que uma partícula executa um movimento harmônico simples com uma frequência f = 0,25   Hz em torno do ponto x = 0 . Em t = 0 , a partícula tem um deslocamento x = 0,37   cm e possui velocidade nula, v = 0   m/s . Sabendo disso, na letra (a) ele o enunciaod pede pra gente determinar o período do movimento.

Iradoso, como o problema disse pra gente qual o valor da frequência, a gente consegue descobrir o período através da relação:

T = 1 f

Substituindo f = 0,25   Hz , teremos que:

T = 1 0,25

Portanto:

T = 4,0   s

Passo 2

Show de bolinhas, agora na letra (b) queremos a frequência angular ω do MHS. Se a gente sabe o valor da frequência em Hz, ou seja, a frequência linear, pra achar a frequência angular a gente vai precisar utilizar a relação:

ω = 2 π f

Sendo assim:

ω = 2 π × 0,25

ω = π 2   rad / s

Passo 3

Belejóia, agora na letra (c) precisamos determinar a amplitude, MAASSs aqui a gente pode ser malandro.

Como a partícula encontra-se na posição 0,37   cm e com velocidade nula, logo, esse ponto é um ponto de deslocamento máximo, ou seja, ela é a nossa amplitude.

Pois como a velocidade está nula, o movimento está prestes a inverter seu sentido. Ou seja, só foi possível chegar até essa posição. Após atingir ela, o bloco começa a voltar.

Então de cara, a gente tira que a amplitude vale 0,37   cm .

A = 0,37   cm

Passo 4

Show de bola, já na letra (d), vamos encontrar o deslocamento x t do MHS. Se a gente já sabe o valor da amplitude e da frequência angular, já dá pra gente saber qual é a sua equação da posição. Já que, a função posição pode ser dada por:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Como o ponto de velocidade zero corresponde ao instante t = 0 , a constante de fase ϕ também vai ser zero. Sendo assim, nossa equação se torna:

x t = A cos ⁡ ω t

Substituindo os valores que temos, vamos descobrir que:

x t = 0,37 cm cos ⁡ π 2 t

Passo 5

Maravilha, agora na letra (e) pra achar a velocidade em função do tempo, a gente só precisa derivar a equação da posição que acabamos de encontrar:

x t = 0,37 cm cos ⁡ π 2 t

Então vamos obter que:

v t = - π 2 rad / s 0,37 cm sen ⁡ π 2 t

Passo 6

Agora na letra (f) a equação da velocidade que acabamos de encontrar é dada como:

v t = - π 2   rad / s 0,37   cm s e n ⁡ π 2 t

E ela vai atingir seu valor máximo, quando o valor do seno atingir seus extremos, sendo assim a velocidade máxima vai ocorrer em:

v m = π 2   rad / s 0,37   cm

Logo:

v m = 0,58 cm / s

Passo 7

(g) A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo, logo, se:

v t = - ω A   s e n ⁡ ( ω t )

A aceleração será dada como:

a t = - ω 2 A   c o s ⁡ ( ω t )

Substituindo os valores:

a t = - π 2 2 0,37 cos ⁡ π 2 t

E como ela também é uma função periódica, seu valor máximo vai ocorrer nos extremos do cosseno, tal que:

a m = π 2 2 0,37

a m = π 2 2 0,37

Portanto:

a m = 0,91 cm / s ²

Passo 8

Belezoca, na letra (h) queremos encontrar o deslocamento em t = 3,0   s , como temos a equação do deslocamento dado como:

x t = 0,37 cos ⁡ π 2 t

Então em t = 3   s vamos obter que:

x 3 , 0 = 0,37 cm cos ⁡ π 2 × 3

x 3 , 0 = 0

Assim, o deslocamento x t em t = 3,0   s é x 3 = 0 .

Passo 9

Belejóia, pra finalizar, na letra (i) pra gente encontrar o valor da velocidade nesse tempo t = 3,0 s , a gente substitui esse valor do tempo na equação da velocidade, dada como:

v t = - π 2   rad / s 0,37   cm sen ⁡ π 2 t

Substituindo t = 3 s :

v 3 = - π 2   rad / s 0,37   cm sen ⁡ 3 π 2

v 3 = 0,58 cm / s

Prontinho!

Resposta

(a) T = 4,0 s

(b) ω = π 2 rad / s

(c) A = 0,37   cm

(d) x t = 0,37 cm cos ⁡ π 2 t

(e) v t = - π 2   rad / s 0,37   cm sen ⁡ π 2 t

(f) v m = 0,58 cm / s

(g) a m = 0,91 cm / s ²

(h) x 3,0 = 0   cm

(i) v = 0,58 cm / s

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