Enunciado

As massas e as coordenadas de quatro partículas são as seguintes: 50   g .   x = 2,0   cm ,   y = 2,0   cm ; 25   g .   x = 0 ,   y = 4,0   cm ;   25   g ,   x = - 3,0   cm ,   y = - 3,0   cm ;   30   g ,   x = - 2,0   c m ,   y = 4,0   c m . Qual é o momento de inércia do sonjunto em relação ao eixo (a) x, (b) y e (c) z? Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Neste caso, qual é a resposta de (c) em termo de A e B?

Passo 1

Para calular o momento do inércia para várias massas, usamos a equação:

I = ∑ i = 1 n m i r i 2

Onde n seria a quantidade de massas m i , enquanto r i seria distância de uma certa massa m i até o eixo.

Passo 2

Então show de bolinhas, na letra (a) queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo x , dessa maneira vamos pegar somente a distância em cada massa se encontra do eixo x . Temos que tomar cuidado, porque queremos a distância até o eixo x , e não a coordenada da massa no eixo x . Sendo assim, essa distância é dada pelo valor de y da coordenada da massa.

De maneira que em relação ao eixo x, medimos a distância das partículas no eixo y, logo:

I x = ∑ i = 1 n m i y i 2

I x = 50 2,0 2 + 25 4,0 2 + 25 - 3,0 2 + 30 4,0 2

I x = 1305   g. cm 2

Passo 3

Agora na letra (b), queremos medir o momento de inércia em relação ao eixo y , então fazemo exatamente a mesma coisa que no passo anterior, só que agora usamos a coordenada x para descrever a distância da massa até o eixo y . Sendo assim, em relação ao eixo y, medimos a distância das partículas no eixo x, logo:

I y = ∑ i = 1 n m i x i 2

I y = 50 2,0 2 + 25 0 2 + 25 3,0 2 + 30 2,0 2

I y = 545   g. cm 2

Passo 4

Já na letra (c). Teremos que a distância d z das massas até o eixo z , é expressa como:

d z = x i 2 + y i 2

Logo, o momento de inércia será:

I z = ∑ i = 1 n m i d z 2

I z = ∑ i = 1 n m i x i 2 + y i 2 2

De forma que:

I z = ∑ i = 1 n m i x i 2 + y i 2

I z = ∑ i = 1 n m i x i 2 + ∑ i = 1 n m i y i 2

Então relação ao eixo z, teremos que:

I z = I x + I y

I z = 1305   + 545

I z = 1850 g . c m 2

Com base no valor obtido somando I x + I y , podemos dizer que o teorema dos eixos perpendiculares nos mostra que ele é válido para este caso, pois as massas estão contidas num mesmo plano.

Resposta

a)

I = 1305   g . c m 2

b)

I = 545   g . c m 2

c)

I = 1850   g . c m 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

50. Uma roda de 60c m de diâmetro rola a 20m / s . Qual é o valor da velocidade do ponto frontal da borda da roda?
55. Qual é o momento de inércia de um disco de 2,0k g , com 20c m de diâmetro, para rotações em torno de um eixo (a) que passa pelo centro e (b) que passa pela borda do disco?
Uma chapa de aço de 800g tem a forma do triângulo isósceles mostrado na FIGURA P12.53. Quais são as coordenadas x e y do centro de massa?Sugestão: divida o triângulo em tiras verticais de largura d x
O momento de inércia de uma haste homogênea em torno de um eixo que passa por seu centro é 1 12 m L 2 . O momento de inércia em torno de um eixo que passa pela extremidade da haste é 1 3 m L 2 . Expli
O professor põe em sua mão duas esferas. Elas possuem a mesma massa, o mesmo raio e a mesma superfície exterior. O professor, então, afirma que uma das esferas é maciça e a outra, oca. Você pode deter