Enunciado

Três dimensões. Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas xyz. A partícula A, na orgiem, tem massa m A . A partícula B, nas coordenadas (2,00d; 1,00d; 2,00d), tem massa 2,00 m A e a partícula C, nas coordenadas (-1,0d; 2,00d; -3,00d) tem massa 3,00 m A . Uma quarta partícula D, de massa 4,00 m A , pode ser colocada nas proximidades das outras partículas. Em termos da distância d, em que coordenadas (a) x, (b) y e (c) z a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula A seja nula?

Passo 1

Show de bolinha pessoal, o complicado desse exercício é que ele é em 3D. Então a gente tem mais uma equação pra resolver. Como o somatório das forças em A tem quer ser nulo, a gente tem que:

F B A → + F C A → + F D A → = 0 →

Logo:

F D A → = - F B A → - F C A →

Pra calcular as componentes, a gente não precisa usar seno e cosseno. Como o problema é 3D, ficaria mais um pouco complicado fazer isso. Por outro lado, a gente pode usar de outra malandragem. Por exemplo, a força na direção x que B exerce em A é:

G m A m B x B r B 2 = G m A 2 m A 2 d 2 d 2 + d 2 + 2 d 2 3 = 4 G m A 2 27 d 2

Assim, aplicando isto na equação 2. a gente consegue descobrir a distância r D A da partícula D até A, dada como:

G m A m D r D A 2 = 4 27 - 3 14 196 2 + 2 27 - 3 14 98 2 4 27 - 9 14 196 2 = 0,4439 G m A 2 d 2

Como m D = 4 m A , a gente resolve o problema e descobre r D A , que fica

r D A = 4,357 d

Passo 2

Pra calcular agora as coordenadas da posição de D fica tranquilinho, já que a gente já sabe a distância de D até A. A sua coordenada em x, y e z é, respectivamente:

G m A m D x D r D A 3 = - 4 27 - 3 14 196 2 G m A 2 d 2 → x D = - 1,88 d

G m A m D y D r D A 3 = - 2 27 - 3 14 98 2 G m A 2 d 2 → x D = - 3,90 d

G m A m D z D r D A 3 = - 4 27 - 9 14 196 2 G m A 2 d 2 → x D = 0,489 d

Resposta

(a) x D = - 1,88 d

(b) y D = - 3,90 d

(c) z D = 0,489 d

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