Enunciado

Um medidor supercondutor de gravidade pode medir variações da ordem de Δ g g = 1,00 × 10 - 11 . (a) Você escondido atrás de uma árvore, segurando o medidor, e seu amigo de 80   k g se aproxima do outro lado. Quão próximo de você seu amigo pode chegar antes que o medidor detecte uma variação em g causada pela presença dele? (b) Você está em um balão de ar quente, usando o medidor para determinar a que taxa está subindo (suponha a aceleração constante). Qual é a menor variação de altitude que resulta em uma variação detectável do campo gravitacional da Terra?

Passo 1

a) Vamos entender o que está acontecendo. Temos um detector que consegue medir variações na gravidade. Só que não é qualquer variação. São variações de ordem de Δ g g = 1,00 × 10 - 11 .

Quando o seu amigo se a aproxima de você, existe um campo gravitacional pela presença de dois corpos próximos.

O campo gravitacional devido a uma massa m , gerado a uma distância r em relação a m , será:

g r = G m r 2

Então seu amigo que tem m = 80 k g ao se aproximar de você vai causar uma campo gravitacional. O que ele quer saber é a partir de qual distância r esse campo se torna grande o bastante para ser detectado pelo condutor.

Passo 2

Usando a relação do enunciado, temos:

Δ g g = 1,00 × 10 - 11

Logo,

Δ g = 1,00 × 10 - 11 ⋅ g

Se a presença do seu amigo causa uma variação do campo gravitacional de

Δ g = G m r 2

Igualando as expressões, temos:

G m r 2 = 1,00 × 10 - 11 ⋅ g

Para m = 80   k g , sabendo que G é a constante de gravitação iniversal e vale G = 6,673 ⋅ 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2 e que g = 9,81   m / s 2 = 9,81 N K g

6,673 ⋅ 10 - 11   ⋅ 80   r 2 = 1,00 × 10 - 11 ⋅ 9,81

Isolando r

6,673 ⋅ 10 - 11   ⋅ 80   1,00 × 10 - 11 ⋅ 9,81 = r 2

r = 6,673 ⋅ 10 - 11   ⋅ 80   1,00 × 10 - 11 ⋅ 9,81 1 / 2

r ≅ 7,38   m

Passo 3

Para o item (b), ele quer a menor variação de altitude Δ r que resulta em uma variação detectável do campo gravitacional da Terra. O campo gravitacional causado pela Terra a uma altura r é

g r = G M r 2

Para achar a variação de campo gravitacional da Terra por causa de uma variação de altura r , vamos derivar essa expressão em relação a r , assim achamos a taxa de variação do campo. Derivando, temos:

d g d r = - 2 G M r 3

Usando que g r = G M r 2 :

d g d r = - 2 r G M r 2

d g d t = - 2 g r r

Passo 4

Lembra que estamos querendo variações Δ r de ordem de grandeza bem pequenas, porque o condutor consegue sentir variações de ordem Δ g g = 10 - 11 no campo (variações bem pequenas).

Aí a gente pode aproximar essa variação bem pequena d g do campo gravitacional na nossa expressão por Δ g , e aproximar d r por Δ r .

Logo,

d g d t = - 2 g r r

Δ g Δ r = - 2 g r r

Isolando o que a gente quer, a variação de altura Δ r :

Δ g g r = - 2 Δ r r

  Δ r = - r 2 ⋅ Δ g g r

Tiramos o módulo porque não faz diferença o sinal já que só queremos mesmo uma distância.

Do enunciado sabemos que Δ g g = 1,00 × 10 - 11 e como queremos saber a variação em relação ao campo gravitacional da Terra, vamos usar r = R T , onde R T é o raio da Terra e vale

R T = 6,37 × 10 6   m

Temos então

Δ r = - 6,37 × 10 6   m 2 ⋅ 10 - 11 = 31,9   μ m

Obs: percebe que no item (a) a gente queria um valor limite para a distância, de modo que uma variação no campo originada pela presença do menino seria detectável, e aqui no item (b) a gente queria a variação de distância que geraria uma variação percepctivel do campo.

Por isso usamos métodos diferentes para resolver cada item, beleza?

Resposta

  1. r ≅ 7,38   m
  2. Δ r = 31,9   μ m
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