Enunciado

Uma moça de 40   k g e um trenó de 8,4   k g estão sobre a superfície sem atrito de um lago congelado, separados por uma distância de 15   m , mas unidos por uma corda de massa desprezível. A moça exerce uma força horizontal de 5,2   N sobre a corda. Qual é o módulo da aceleração (a) do trenó e (b) da moça? (c) A que distância da posição inicial da moça os dois se tocam?

Passo 1

Para iniciar essa questão precisamos ter em mente que a força resultante F r → que age sobre um corpo é a soma de todas as forças que atuam no mesmo e está relacionada à aceleração a → pela definição da segunda lei de Newton:

F r → = ∑ n = 0 N F i → = m a →

Lembrando que podemos aplicar a segunda lei de Newton para cada componente:

F r x = m a x

F r y = m a y

É válido lembrar também que pela terceira lei de Newton, se um corpo exerce uma força em um outro corpo, agirá sobre o corpo que exerceu a força uma força de módulo igual a que foi exercida, porém de sentido contrário.

Além disso, para este problema, é preciso lembrar das funções que regem o movimento retilíneo uniformemente variado:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

v t = v 0 + a t

x t = x 0 + v 0 t + a t 2 2

Este problema nos dá a massa da mulher e do trenó ( m M = 40   k g e m T = 8,4   k g ), fala que estão numa superfície sem atrito, a 15   m um do outro. Fala também que a moça exerce um força horizontal na corda de 5,2   N e nos pede a aceleração da moça e do trenó, e também a que distância da posição inicial da moça os dois se tocam.

Passo 2

Para determinar a aceleração da mulher, aplicaremos a segunda lei de Newton, considerando a direção da corda o eixo x e o semieixo x positivo partindo da mulher em direção ao trenó. Assim:

F r x = m M a M

Substituindo os valores conhecidos de m M = 40   k g e F r x = 5,2   N , então:

5,2 = 40 a M

Isolando a M :

a M = 5,2 40 = 0,13   m / s 2

Passo 3

Para determinar a aceleração do trenó, faremos de maneira análoga e manteremos o eixo estabelecido no passo anterior. Assim:

- F r x = - m T a T

Subsituindo os valores conhecidos:

- 5,2 = - 8,4 a T

Isolando a T :

a T = 5,2 8,4 = 0,62   m / s 2

Passo 4

Inicialmente para determinar a posição em que se tocam, vamos escrever a função de movimento para cada um. Para a mulher:

x t = x 0 + v 0 t + a t 2 2

Considerando o mesmo eixo determinado no passo 2 , temos que x 0 = 0 , v 0 = 0 , porque parte do repouso, a M = 0,13   m / s 2 , então substituindo os valores:

x t = 0,13 t 2 2

Para o trenó:

Mantendo o mesmo eixo, temos que x 0 = 15   m , v 0 = 0 e a T = 0,62   m / s 2 , então, substituindo os valores:

x t = 15 - 0,62 t 2 2

Passo 5

Com as funções determinadas para os dois corpos, vamos descobrir o instante de tempo que ambas possuem a mesma posição. Para tanto, x M = x T , assim:

0 , 13 t 2 2 = 15 - 0,62 t 2 2

Isolando t :

t = 30 0,75 = 6,32   s

Passo 6

Com o tempo em que eles se tocam em mãos, nossos problemas acabaram!!! Substituimos esse valor de tempo em umas das funções e determinamos em qual posição eles se tocam:

x t = 0,13 × 6,32 2 2 = 2 , 6   m

Resposta

  1. a T = 0,62   m / s 2 ;
  2. a M = 0,13   m / s 2 ;
  3. x t = 2,6   m .
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