Enunciado

Um bloco de massa m 1 está sobre uma mesa horizontal. O bloco está preso a um bloco de 2,5   k g ( m 2 ) através de um fio leve que passa por uma polia, sem massa e sem atrito, na beirada da mesa. O bloco de massa m 2   balança a 1.5   m do chão (Figura abaixo), O sistema é largado do repouso em t = 0 e o bloco de 2,5   k g   atinge o chão em t = 0,82   s , O sistema é, agora, recolocado em sua configuração inicial e um bloco de 1,2   k g é colocado sobre o bloco de massa m 1 . Largado do repouso, o bloco de 2,5 k g agora atinge o chão após 1,3 s . Determine a massa m 1 e o coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massa m 1   e a mesa.

Passo 1

Os diagramas de corpo livre abaixo mostram as forças que atuam sobre os blocos cujas massas são m 1 e m 2 . A aplicação da segunda lei de Newton e o uso da função horária do espaço nos permitirá encontrar uma relação entre o coeficiente de atrito cinético e m 1 .

A repetição deste procedimento com o bloco adicional no topo do bloco cuja massa é m 1 nos levará a uma segunda equação que, quando resolvida simultaneamente com a primeira equação, leva para uma equação quadrática em m 1 . Finalmente, sua solução nos permitirá substituir em uma expressão para μ k e determine seu valor.

Passo 2

Usando a equação horária do espaço, podemos relacionar o deslocamento do sistema em sua primeira configuração em função de sua aceleração e tempo de queda:

Δ x = v 0 x Δ t + 1 2 a x , 1 Δ t 2

Como a velocidade inicial é zero, isto é, v 0 x = 0 :

Δ x = 1 2 a x , 1 Δ t 2 ⇒ a x , 1 = 2 Δ x Δ t 2

Substituindo por valores numéricos:

a x , 1 = 2 1,5   m 0,82   s 2 = 4,4616   m / s 2

O mesmo resultado vale para a massa m 2 , já que v 0 x = 0 para a massa 2 também, então:

a x , 2 = 2 Δ x Δ t 2 ⇒ a x , 2 = 2 1,5   m 1,3 s 2 = 1,775   m / s 2

Passo 3

Aplicando a 2° Lei de Newton no eixo x no bloco de massa m 2 , temos:

∑ F x = m a x ⇒ m 2 g - T 1 = m 2 a x , 1 ⇒ T 1 = m 2 ( g - a x , 1 )

Substituindo por valores numéricos, temos:

T 1 = 2,5   k g 9,81 m s 2 - 4,4616 m s 2 = 13,371   N

Agora, aplicando a 2° Lei de Newton no bloco m 1 , no eixo x:

∑ F x = T 1 - f k = m 1 a x , 1

E no eixo y:

∑ F y = F n , 1 - m 1 g = 0

Passo 4

Usando a definição de força de atrito cinético f k = μ k F n e substituindo na primeira equação e multiplicando a segunda equação por μ k do passo 3:

T 1 - μ k F n , 1 = m 1 a x , 1

μ k F n , 1 - μ k m 1 g = 0

Agora, somando as duas equações:

T 1 - μ k m 1 g = m 1 a x , 1 ⇒ μ k = T 1 - m 1 a x , 1 m 1 g      

Da mesma forma como vimos anteriormente:

T 2 = m 2 g - a x , 2 = 2,5   k g 9,81 m s 2 - 1,775 m s 2 = 20,1   N

Passo 5

Então, aplicando a 2° Lei de Newton no sistema, no eixo x, temos:

∑ F x = T 2 - μ k m 1 + 1,2 k g g = m 1 + 1,2 k g a x , 2

Substituindo o valor de μ k que encontramos no passo anterior:

T 2 - T 1 - m 1 a x , 1 m 1 g m 1 + 1,2 k g g = m 1 + 1,2 k g a x , 2

Simplificando essa equação, isto é, substituindo os valores que já temos, teremos uma equação de 2° em m 1 :

2,686 m 1 2 + 9,940 m 1 - 16,05 = 0 ⇒ m 1 = 1,2 k g

Substituindo na expressão de μ k :

μ k = 13,375 N - 1,215   k g 4,4616 m s 2 1,215   k g 9,81 m s 2 = 0,67

Resposta

m 1 = 1,2 k g

μ k = 0,67

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