Enunciado

No modelo de Bohr do átomo de hidrogÊnio, um único elétron gira em torno de um único próton, descrevendo uma órbita circular de raio r. Suponha que o próton permaneça em repouso.

a)Igualando a força elétrica com a massa do elétron vezes a sua aceleração, deduza uma relação para a velocidade do elétron.

b)Deduza uma relação para a energia cinética do elétron e mostre que seu valor é igual a metade da energia potencial elétrica.

c)Deduza uma relação para a energia total e calcule seu valor usando r = 5,29 × 10 - 11 m . Forneça sua resposta numérica em elétron-volts e em joules.

Passo 1

letra a)

Igualando a força elétrica com a massa vezes a aceleração do elétron temos:

F E = m a

k q 2 R 2 = m a

Passo 2

Para uma trajetória circular, a aceleração é a aceleração centrípeta

a = v 2 R

Passo 3

Então temos:

k q 2 R 2 = m v 2 R

Simplificando os termos temos:

k q 2 R = m v 2

Isolando a velocidade:

v = k q 2 m R

Passo 4

letra b)

Sabemos que a energia cinética é:

K = 1 2 m v 2

Como já deduzimos a velocidade é só substituir:

K = 1 2 m k q 2 m R 2

K = 1 2 m ⋅ k q 2 m R

K = k q 2 2 R

Passo 5

Para mostrar que a energia cinética é metade que a energia potencial, precisamos lembrar que:

U = - k q 2 R

Então:

K = - 1 2 U

Passo 6

letra c)

A energia total será a soma da cinética com a potencial:

E T = K + U = - 1 2 U + U

E T = 1 2 U

Passo 7

Agora podemos calcular o valor da energia total para r = 5,29 × 10 - 11 m

E T = 1 2 U = - k q 2 2 R

E T = -   8,99 × 10 - 9 1,6 × 10 - 19 2 2 5,29 × 10 - 11

E T = - 2,17 × 10 - 18   J = - 13,6   e V

Resposta

letra a) v = k q 2 m R

letra b)   K = k q 2 2 R

letra c) E T = 1 2 U , E T = - 2,17 × 10 - 18   J = - 13,6   e V

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