Enunciado

O módulo J r da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 2,00 m m de raio é dado por J r = B r , onde r é a distância do centro do fio em metros e B = 2,00 × 10 5 A / m 3 . Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, com 10,0 μ m de largura, situado a 1,20 mm do centro do fio?

Passo 1

Fala aí! Como vai? 😁

Temos um fio cilíndrico com raio R = 2,00 m m e densidade de corrente não-uniforme J r = B r em que B = 2,00 × 10 5 A / m 3 . Nosso objetivo é determinar a corrente que passa em um anel com 10,0 μ m de largura e 1,20 m m do centro do fio.

Sabemos que a corrente pode ser calculada a partir da fórmula:

i = ∫ S J r d A = ∫ S J r 2 π r d r

E substituindo a densidade de corrente, temos:

i = ∫ S 2 π B r 2 d r

No entanto, não queremos a corrente que passa pelo fio, mas sim a corrente que passa por uma porção do fio, que seria um anel.

Saca só! 👀

Passo 2

Sabemos que esse anel é concêntrico com o fio, tem uma largura de 10 μ m e que está a uma distância de 1,2 m m do centro do fio. Algo mais ou menos assim:

Como só queremos a corrente que passa pelo anel, ou seja, a corrente que passa pelo círculo rosa no desenho acima.

i a n e l = ∫ a n e l 2 π B r 2 d r

Em um caso normal, nós iríamos agora colocar o raio interno e o externo do anel como sendo os limites de integração e integrar para se calcular a corrente.

Mas podemos usar aqui uma aproximação!

Repara só que a espessura do anel ( 10 μ m ) é muito menor do que o raio interno e externo do anel.

Sendo assim, usaremos a aproximação:

i a n e l = ∫ a n e l B 2 π r 2 d r = B 2 π r 2 Δ r

Onde r será o raio médio do anel que é r = 1,2 m m e Δ r será a espessura do anel Δ r = 10 μ m , sendo assim teremos:

i a n e l = 2,00 × 10 5 × 2 π × 1,2 × 10 - 3 2 10 × 10 - 6

i a n e l = 180,96 × 10 - 7 A

Ou se preferir:

i a n e l = 18,1 μ A

E aí! O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

i a n e l = 18,1 μ A

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