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Uma mola de massa desprezível está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y , tal que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 10 c m abaixo de y i . (a) Qual é a frequência das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto quando se encontra 8,0 c m abaixo da posição inicial? (c) Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da frequência original. Qual é a massa do primeiro objeto? (d) A que distância abaixo de y i está a nova posição de equilíbrio (repouso), com os dois objetos presos à mola?

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, pra gente entender a física do problema, a figura abaixo mostra um esquema do problema. O objeto entra em equilíbrio quando a força da gravidade (que aponta para baixo) é balanceada com a força da mola (apontada para cima).

Vamos chamar de l a variação do comprimento da mola entre seu ponto relaxado e seu ponto de equilíbrio.

l = 10 2

l = 5   cm

Assim, fazendo o balanço das forças na condição de equilíbrio, obtemos que:

k l = m g

Onde k é a constante da mola e m é a massa 1 do objeto. Então:

k m = g l

Sabendo da razão k / m , a gente consegue calcular a frequência de oscilação, de forma que:

f = ω 2 π

f = 1 2 π k m

E como k / m = g / l , temos:

f = 1 2 π g l

Tal que:

f = 1 2 π 9,8 m / s 2 0,05   m

f = 2,2   Hz

Passo 2

Iradoso meus amores, agora no próximo item, para responder usaremos a conservação da energia mecânica. Adotaremos o zero da energia potencial gravitacional no ponto inicial do objeto, que é o ponto onde a mola está relaxada. Neste ponto, a energia potencial e a energia cinética são zero, logo a energia mecânica será zero ( E M = 0 ). O eixo y será positivo para baixo e y = 0,080 m . A energia potencial quando o objeto está nesse ponto é

U = 1 2 k y 2 - m g y

A equação da conservação de energia mecânica fica:

E C + U = E M

1 2 k y 2 - m g y + 1 2 m v 2 = 0

Agora, basta isolar a velocidade na equação acima e encontrar o seu valor, sendo assim:

v = 2 g y - k m y 2

v = 2 g y - g l y 2

Substituindo os valores:

v = 2 9,8 m / s 2   0,080   m - 9,8 m / s 2 0,05   m 0,080   m 2

v = 0,56 m / s

Passo 3

Sendo m a massa original e ∆ m a massa adicional, a nova frequência angular será expressa como:

ω ' = k m + ∆ m

Como a nova frequência deve ser a metade da frequência original, a gente tem que:

ω ' = 1 2 k m

Igualando as equações:

k m + ∆ m = 1 2 k m

k m + ∆ m = 1 4 ⋅ k m

Sendo assim:

k m + ∆ m = 1 4 ⋅ k m

m + ∆ m = 4 m

m = ∆ m 3

Substituindo valores do problema, temos:

m = 300   g 3

m = 100   g

Passo 4

Show de bolinhas então pessoal, a nova posição de equilíbrio é determinada pelo balanceamento entre a força da gravidade e a força da mola, da mesma forma que a gente fez no item (a):

k y = m + ∆ m g

y = m + ∆ m g k

Antes de resolver essa equação, a gente precisa achar o valor da constante da mola k . Como a gente já sabe a massa e a frequência de oscilação do sistema sem a adição de massa, a gente pode calcular k dessa forma:

k = m ω 2

k = m 2 π f 2

Então:

y = m + ∆ m g m 2 π f 2

Tal que:

y = 0,100   kg + 0,300   kg 9,80   m/s² 0,100   kg 2 π × 2,2   Hz 2

y = 0,200   m

Lembrando que esse valor é medido a partir do ponto inicial, que o ponto onde a mola encontra-se relaxada.

Resposta

(a) f = 2,2 H z

(b) v = 0,56 m / s

(c) m = 100 g

(d) y = 0,200 m

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