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A molécula de metano ( C H 4 ) possui quatro átomos de hidrogênio localizados nos vértices de um tetraedro regular de 0,18 n m de lado, com o átomo de carbono no centro do tetraedro (figura 9-48). Determine o momento de inércia desta molécula para rotações em torno de um eixo que passa pelos centros do átomo de carbo e de um dos átomos de hidrogênio.

Passo 1

Falaaa, querido! Cê está bem?

Então, ele quer o momento de inércia dessa molécula em relação a um eixo que passe, ao mesmo tempo, pelo centro da molécula de carbono (a do centro) e por uma molécula de hidrogênio. E esses hidrogênios estão nos vértices de um tetraedro. Então fica algo assim:

O momento de inércia desse sistema vai ser a soma do momento de inércia de cada partícula dele. Então a gente precisa calcular o momento de inércia de cada átomo desse em relação a esse eixo preto.

Bem esses átomos são partículas mesmo. O momento de inércia de uma partícula em relação a um eixo é dado por

I p a r t í c u l a = m r 2

Onde m é a massa da partícula (aí a gente vai precisar olhar no apêndice C as massas do átomo de hidrogênio e carbono). E r é a distância da partícula até o eixo em questão. Isso a gente descobre usando geometria espacial.

Fica tranquilo se não lembrar muito de geometria espacial, a gente vai se ajudando, tá? Bora lá!

Passo 2

Percebe que o eixo passa através do centro da base do tetraedro.

O átomo de carbono e o átomo de hidrogênio no vértice superior do tetraedro não contribuem para o momento de inércia, pois seus núcleos estão sobre o eixo, e assim a distância r deles até o eixo é nula.

Então, só os três átomos de hidrogênio vão ter momento, os vértices da base. Da geometria espacial, esses átomos estão a uma distância a 3 do centro da base do tetraedro (por onde o eixo passa), onde a é a medida do lado do tetraedro, que o enunciado diz que vale:

a = 18 n m = 18 × 10 - 9   m

Assim, para esses 3 átomos hidrogênio, teremos

r = a 3

E assim o momento de inércia de um deles vai ser:

I p a r t í c u l a = m r 2

I H = m H × a 3 2

Passo 3

Como temos 3 átomos de hidrogênio contribuindo para o momento de inércia do sistema, vamos ter:

I = 3 I H

Substituindo a nossa expressão de I H :

I = 3 m H a 3 2

Substituindo valores, vendo no apêndice C que m H = 1.67 × 10 - 27 k g :

I = 1.67 × 10 - 27 k g 0.1 8 × 10 - 9 m 2

I = 5.4 × 10 - 47 k g ⋅ m 2

Resposta

I = 5.4 × 10 - 47 k g ⋅ m 2

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