Enunciado

a) Mostre que a Equação (16.30) pode ser escrita na forma:

f R = f S 1 - v c 1 2 1 + v c - 1 2

b) Use a serie binomial para mostrar que quando v ≪ c , esse resultado é aproximadamente igual a

f R = f S 1 - v c

c) Um avião de reconhecimento sem piloto emite um sinal de rádio com uma frequência igual a 243   M H z . Ele está voando em linha reta rumo ao engenheiro que está no solo. O engenheiro detecta batimentos entre o sinal recebido e o sinal local cuja frequência é também igual a 243   M H z . A frequência dos batimentos é igual a 46,0   H z . Qual é a velocidade do avião? (As ondas de radio se deslocam com velocidade igual à velocidade da luz. c = 3,0 × 10 8 m / s . )

Passo 1

a) Só precisamos usar a equação que a questão fala, que é a 16.30:

f R = c - v c + v f S

E mexer nela. Vamos separar as raízes:

f R = c - v c + v f S = c - v 1 c + v f S

Agora escrevemos elas em frações de potência:

f R = c - v 1 2 1 c + v 1 2 f S

Invertemos o sinal da potência do termo no denominador:

f R = c - v 1 2 c + v - 1 2 f S

Tiramos c como fator comum das duas raízes:

f R = c 1 2 1 - v c 1 2 c - 1 2 1 + v c - 1 2 f S

Simplificamos eles:

f R = 1 - v c 1 2 1 + v c - 1 2 f S

E pronto, mostramos que a equação pode ser escrita dessa forma.

Passo 2

O teorema binomial afirma que, para um x muito pequeno, podemos fazer:

1 - x 1 2 ≈ 1 - x 2

E:

1 + x - 1 2 ≈ 1 - x 2

Como v / c na equação da letra (a) é muito pequeno porque v ≪ c , então:

f R = 1 - v 2 c 2 f S

Usando de novo o teorema binomial:

f R = 1 - v c f S

E mostramos o que foi pedido.

Passo 3

c) para o caso de um avião, podemos usar a última aproximação para o caso v ≪ c , já que o avião se desloca numa velocidade bem menor que a da luz. A questão pede a velocidade do avião e dá para a gente os batimentos entre as ondas refletidas e emitidas, a equação de batimentos é:

f b a t = f R - f S

Isolando v que é a velocidade do avião que queremos calcular:

v = f S - f R f S c

Substituindo a frequência dos batimentos:

v = - f b a t f S c

Colocando os valores dados:

v = - 46   H z 2,43 × 10 8   H z 3,00 × 10 8   m / s

v = - 56,8   m / s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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