Enunciado

Mostre que se pode obter o efeito Doppler a partir da transformação de Galileu. (a) Considere primeiro uma onda sonora harmônica em um dimensão, para uma fonte sonora em repouso no meio, de frequência ν 0 . Escreva a expressão da onda num ponto x no instante t , no referencial S do meio. Considere agora um observador que se desloca com velocidade u em relação a S , na direção θ . Relacione x com a coordenada x ' do observador, no referencial S ' que se desloca com ele. Substitua na expressão da onda e interprete o resultado. (b) Considere agora o caso em que o observador se move com velocidade u → numa direção qualquer. Generalize o resultado de (a), usando a transformação de Galileu geral, e mostre que se obtém a mesma expressão para o efeito Doppler encontrada no Problema 16. Parta da seguinte expressão geral para uma onda plana:

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - ω t + δ = R e A e i k → ∙ r → - ω t

Passo 1

(a) Vamos começar considerando uma onda que se move apenas na direção x . Nesse caso:

k → ∙ r → = k x

E se a velocidade do som no referencial S é v , então:

x = v t

A expressão geral vai ser a seguinte:

φ x , t = A cos ⁡ ( k v t - ω t + δ )

Beleza, essa expressão descrever a onda sonora no referencial S .

Passo 2

No referencial S ' , a histórica fica um pouco diferente.

O observador de S ' está se movendo com velocidade u em relação a S , e na direção θ em relação ao eixo x .

Pela transformação de Galileu, temos a seguinte relação:

x ' = x - u cos ⁡ θ t

x ' = v t - u cos ⁡ θ t

x ' = v t 1 - u cos ⁡ θ v

Então a expressão para a onda sonora de acordo com esse observador é:

φ x , t = A cos ⁡ ( k v t 1 - u cos ⁡ θ v - ω t + δ )

φ x , t = A cos ⁡ ( k v t - k v t u cos ⁡ θ v - ω t + δ )

E usando o fato de que ω = k v , podemos deixar essa equação na forma geral da onda plana:

φ x , t = A cos ⁡ ( k x - ω 1 + u cos ⁡ θ v t + δ )

Ou seja, para o observador em S ' a onda se comporta como se tivesse a seguinte frequência angular:

ω ' = ω 1 + u cos ⁡ θ v

Passo 3

Agora vamos lembrar da relação entre a frequência angular ω e a frequência de oscilação ν :

ν = ω 2 π

E então:

2 π   ν = 2 π   ν ' 1 + u cos ⁡ θ v

ν = ν ' 1 + u cos ⁡ θ v

Que é exatamente a fórmula para o efeito Doppler no caso em que temos uma fonte parada e um observador se aproximando.

Passo 4

(b) Agora vamos considerar um caso que não é necessariamente unidensional.

Aqui, a nossa transformação de Galileu vai ter a seguinte forma:

r → ' = r → - u → t

Vamos supôr que a equação geral da onda é:

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - ω t + δ

Então no novo referencial:

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - u → t - ω t + δ

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - k → ∙ u → t - ω t + δ

E o produto escalar entre k → (que é a direção de propagação da onda) e u → (que é a direção de movimento do observador) é:

k → ∙ u → = k →   u → cos ⁡ θ = k u cos ⁡ θ

Substituindo isso na expressão:

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - k u cos ⁡ θ t - ω t + δ

E substituindo ω = k v :

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - ω v u cos ⁡ θ t - ω t + δ

φ r → , t = A cos ⁡ k → ∙ r → - ω t 1 + u cos ⁡ θ v + δ

E então a frequência observada é:

ω ' = ω 1 + u cos ⁡ θ v

Passando da frequência angular ω para a frequência de oscilação ν :

ν ' = ν 1 + u cos ⁡ θ v

Que é exatamente a expressão que encontramos no problema 16 (conforme o enunciado pediu).

Resposta

(a) A expressão da onda no novo referencial fica φ x , t = A cos ⁡ ( k x - ω 1 + u cos ⁡ θ v t + δ ) . O que implica na expressão para o efeito Doppler com uma fonte parada e um observador em movimento com velocidade u na direção θ .

(b) Para o caso geral, temos ν ' = ν 1 + u cos ⁡ θ v .

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