Enunciado

Um modelo clássico para a molécula de C O 2 é constituído por duas partículas idênticas de massa M ligadas a uma partícula central de massa m por molas idênticas de constante elástica k e massa desprezível. Sejam x 1 , x 2 e x 3 os deslocamentos das três partículas a partir das respectivas posições de equilíbrio (figura). (a) Escreva as equações de movimento para x 1 , x 2 e x 3 e verifique que o centro de massa do sistema permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. (b) Obtenha as equações de movimento para a as coordenadas relativas, x 2 - x 1 = ξ e x 3 - x 2 = η . (c) A partir de (b), calcule as frequências angulares de oscilação associadas aos dois modos normais de vibração do sistema. Interprete fisicamente estes dois modos, caracterizando os tipos de oscilação das massas a eles associados. (d) Aplique este modelo à molécula de C O 2 , calculando a razão entre as duas frequências de modos normais de vibração para esta molécula. Tome as massas do carbono e oxigênio como 12 e 16 , respectivamente, em unidades de massa atômica.

Passo 1

Vamos começar escrevendo a segunda lei de Newton para cada uma das molas.

No caso da mola da esquerda, por exemplo:

F 1 = M x ¨ 1

E usando a lei de Hooke ( F = - k x ) , a força vai ser proporcional ao comprimento daquela primeira mola:

M x ¨ = - k x 1 - x 2

É só usar a mesma lógica para as outras molas, e você vai ficar com essas expressões aqui:

M x ¨ 1 = - k x 1 - x 2 m x ¨ 2 = - k x 2 - x 3 - k x 2 - x 1 M x ¨ 3 = - k x 3 - x 2

E o enunciado pediu pra mostrar que o centro de massa fica parado ou em movimento retilíneo uniforme.

Lembra da fórmula para a posição do centro de massa?

x c m = ∑ m i x i ∑ m i = M x 1 + m x 2 + M x 3 2 M + m

A gente pode derivar isso duas vezes em relação ao tempo pra encontrar a aceleração do centro de massa:

x ¨ c m = M x ¨ 1 + m x ¨ 2 + M x ¨ 3 2 M + m

E aí é só substituir com aquelas fórmulas lá de cima:

x ¨ c m = - k x 1 - x 2 - k x 2 - x 3 - k x 2 - x 1 + k x 2 - x 3 2 M + m

E todos os termos do numerador vão se cancelar!

x ¨ c m = 0

Então o centro de massa não tem aceleração! Ele se mantém parado ou em movimento retilíneo uniforme.

Passo 2

(b) Agora vamos olhar de novo pro sistema lá do passo 1 :

M x ¨ 1 = - k x 1 - x 2 m x ¨ 2 = - k x 2 - x 3 - k x 2 - x 1 M x ¨ 3 = - k x 3 - x 2

Reorganizando um pouco:

M x ¨ 1 + k x 1 - x 2 = 0 m x ¨ 2 + k x 2 - x 3 + k x 2 - x 1 = 0 M x ¨ 3 + k x 3 - x 2 = 0

Pra simplificar mais ainda, vamos inventar duas variáveis novas:

K 1 = k M           ,           K 2 = k m

Então:

x ¨ 1 + K 1 x 1 - x 2 = 0 x ¨ 2 + K 2 x 2 - x 3 + K 2 x 2 - x 1 = 0 x ¨ 3 + K 1 x 3 - x 2 = 0

Nosso objetivo aqui é escrever isso tudo em função das duas variáveis que o enunciado deu:

ξ = x 2 - x 1 η = x 3 - x 2

Passo 3

Se a gente subtrair a primeira equação da segunda, vai sair o seguinte:

x ¨ 2 + K 2 x 2 - x 3 + K 2 x 2 - x 1 - x ¨ 1 + K 1 x 1 - x 2 = 0

E aqui já dá pra ver o ξ e o η aparecendo:

x ¨ 2 - x ¨ 1 + K 2 x 2 - x 3 + K 2 x 2 - x 1 - K 1 x 1 - x 2 = 0

ξ ¨ + K 2 - η + K 2 ξ - K 1 - ξ = 0

ξ ¨ + K 1 + K 2 ξ = K 2 η

E agora vamos subtrair a segunda da terceira:

x ¨ 3 + K 1 x 3 - x 2 - x ¨ 2 + K 2 x 2 - x 3 + K 2 x 2 - x 1 = 0

x ¨ 3 - x ¨ 2 + K 1 x 3 - x 2 - K 2 x 2 - x 3 - K 2 x 2 - x 1 = 0

Vamos fazer as mesmas substituições com o ξ e o η :

η ¨ + K 1 η - K 2 - η - K 2 ξ = 0

η ¨ + K 1 + K 2 η = K 2 ξ

Beleza, agora ficamos com só duas equações ao invés de três:

ξ ¨ + K 1 + K 2 ξ = K 2 η η ¨ + K 1 + K 2 η = K 2 ξ

Passo 4

(c) O próximo passo é calcular as frequências angulares de oscilação usando essas equações:

ξ ¨ + K 1 + K 2 ξ = K 2 η η ¨ + K 1 + K 2 η = K 2 ξ

O problema é que essas equações ainda tem duas variáveis cada! Vamos ter que introduzir mais um par de variáveis novas pra resolver isso:

q 1 = ξ + η 2

q 2 = ξ - η 2

Se a gente somar as duas equações do sistema:

ξ ¨ + K 1 + K 2 ξ + η ¨ + K 1 + K 2 η = K 2 ξ + K 2 η

ξ ¨ + η ¨ + K 1 + K 2 ξ + η = K 2 ξ + η

E agora é só substituir o q 1 aí no meio:

2 q 1 ¨ + 2 K 1 + K 2 q 1 = 2 K 2 q 1

Simplificando um pouco:

q 1 ¨ + K 1 q 1 = 0

E se a gente subtrair a primeira equação da segunda:

ξ ¨ + K 1 + K 2 ξ - η ¨ - K 1 + K 2 η = K 2 η - K 2 ξ

ξ ¨ - η ¨ + K 1 + K 2 ξ - η = K 2 η - ξ

E agora vamos substituir o q 2 :

2 q ¨ 2 + 2 K 1 + K 2 q 2 = - 2 K 2 q 2

q ¨ 2 + K 1 + 2 K 2 q 2 = 0

Agora sim, ficamos com um sistema de duas equações de uma variável cada:

q 1 ¨ + K 1 q 1 = 0 q ¨ 2 + K 1 + 2 K 2 q 2 = 0

A interpretação física é a seguinte:

No primeiro modo, as partículas estão oscilando em relação ao centro geométrico do sistema (que é justamente o que a coordenada q 1 representa). E as duas massas das extremidades vão ter amplitudes opostas.

No segundo modo, e massa m que fica no meio está oscilado em relação ao centro de massa do sistema.

Passo 5

Essas duas equações já estão na forma do oscilador harmônico:

x ¨ + ω 2 x = 0

Então a frequência da primeira equação é:

ω 1 2 = K = k M

E a da segunda equação é:

ω 2 2 = K + 2 K '

ω 2 2 = k M + 2 k m = k 1 M + 2 m

Passo 6

(d) E a nossa última tarefa é calcular a razão entre essas frequências, usando esses valores aqui:

M = 16   u

m = 12   u

A razão é:

r = ω 2 ω 1 = k 1 M + 2 m k M

r = k 1 M + 2 m M k  

Simplificando um pouco:

r = 1 16   u + 2 12   u 16   u  

r = 1 + 32 12 = 44 12  

r = 11 / 3

Resposta

(a) As equações de movimento são M x ¨ 1 = - k x 1 - x 2 m x ¨ 2 = - k x 2 - x 3 - k x 2 - x 1 M x ¨ 3 = - k x 3 - x 2 .

(b) As novas equações são ξ ¨ + K 1 + K 2 ξ = K 2 η η ¨ + K 1 + K 2 η = K 2 ξ , com K 1 = k / M e K 2 = k / m .

(c) As duas frequências de oscilação são ω 1 2 = K 1 e ω 2 2 = K 1 + 2 K 2 .

(d) A razão entre as duas frequências é ω 2 ω 1 = 11 / 3 .

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