Enunciado

Mostre que, nas situações mostradas na figura, o corpo oscila com uma frequência f = 1 2 π k e f m , onde k e f é dado por (a) k e f = k 1 + k 2 e (b) 1 / k e f = 1 / k 1 + 1 / k 2 . Dica: Determine a magnitude da força resultante F sobre o corpo para um pequeno deslocamento x e escreva F = - k e f x . Note que na parte ( b ) as molas são distensidas de quantidades diferentes, cuja soma é x .

Passo 1

(a) Dê uma olhada na figura de cima. Quando a mola da esquerda sofre uma compressão por uma distância x , a mola da direita sofre uma expansão por uma distância x .

As duas molas fazem forças que favorecem o retorno do bloco à sua posição inicial, então:

∑ F = - k 1 x - k 2 x

∑ F = - k 1 + k 2 x  

Agora igualando isso a F = - k e f x , conforme a sugestão do enunciado:

- ( k e f ) x = - k 1 + k 2 x

Então:

k e f = k 1 + k 2

Passo 2

(b) Assim como, no item anterior, as duas molas sofriam a mesma deformação, neste item as duas molas experimentam a mesma força:

F 1 = F 2 = F

F = - k 1 x 1 = - k 2 x 2

E essa é nossa primeira equação.

A deformação total da dupla de molas é x 1 + x 2 , então:

F = - k e f x 1 + x 2

k e f = - F x 1 + x 2

Vamos substituir com uma das expressões que temos para F :

k e f = k 1 x 1 x 1 + x 2

E também substituir x 2 em função de x 1 :

k 1 x 1 = k 2 x 2         ⇒         x 2 = k 1 k 2 x 1

k e f = k 1 x 1 x 1 + k 1 k 2 x 1

Agora dividimos o numerador e o denominador por x 1 :

k e f = k 1 1 + k 1 k 2

k e f = 1 1 k 1 + 1 k 2

1 k e f = 1 k 1 + 1 k 2

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, duas molas iguais, de constante elástica 7580N / m , estão ligadas a um bloco de massa 0,245k g . Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito?
Com um bloco de massa m e duas molas, de constantes elásticas k 1 e k 2 , montam-se dois arranjos indicados nas Figuras (a) e (b). Calcule as respectivas frequências angular ω a e ω b de pequenas osci
97. A constante elástica efetiva de duas molas. Duas molas, ambas com o mesmo comprimento sem deformação, porém com constantes diferentes k 1 e k 2 , são ligadas a um bloco de massa m apoiado sobre um
73. Sobre uma mesa sem atrito, um bloco está preso entre duas molas de constantes elásticas k 1 e k 2 , como mostra a FIGURA P14.73. Demonstre que a freqüência de oscilação do bloco é determinada por
74. Sobre uma mesa sem atrito, um bloco está preso entre duas molas de constantes elásticas k 1 e k 2 , como mostra a FIGURA P14.74. Obtenha uma expressão para a frequência de oscilação f do bloco em