Enunciado

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Um objeto curto e retilíneo, de comprimento L , está no eixo central de um espelho esférico, a uma distância p do espelho. (a) Mostre que a imagem do objeto no espelho tem um comprimento L ' dado por

L ' = L   f p - f 2

(b) Mostre que a ampliação longitudinal m ' = L ' / L é igual a m 2 , em que m é a ampliação lateral.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para começar essa questão, vamos fazer primeiro um desenho da situação:

Vamos achar as posições das imagens correspondentes aos extremos da barra. Para a extremidade mais próxima do espelho, usamos

1 p + 1 i = 1 f

Assim,

1 i = 1 f - 1 p = p - f f p

Portanto,

i = f p p - f

Já para a extremidade mais afastada:

1 p + L + 1 i ' = 1 f

Assim,

i ' = f p + L p + L - f

O comprimento da imagem da barra é

L ' = i - i '

Usei o módulo pois não sei quem é maior que quem entre i e i ' . Substituindo as expressões:

i - i ' = f p p - f - f p + L p + L - f = f p p - f - p + L p + L - f

Assim,

i - i ' = f p p + L - f - p - f p + L p - f p + L - f

Fazendo as distributivas:

i - i ' = f p 2 + p L - p f - p 2 - p L + p f + f L p - f p + L - f = f ⋅ f L p - f p + L - f

Ou ainda,

i - i ' = L ⋅ f 2 p - f p + L - f

Essa expressão é quase igual a mostrada no enunciado, com uma pequena mudança no denominador. Se considerarmos um limite em que L ≪ p , isto é, uma situação em que o comprimento da barra é muito menor que a distância da barra ao espelho, nós obtemos exatamente o resultado pedido pelo enunciado!

L ' = L ⋅ f 2 p - f p + L - f ≈ L   f p - f 2

Passo 2

Agora que temos o foco, vamos achar a posição da imagem:

1 f = 1 p + 1 i

Logo,

1 12 = 1 10 + 1 i → 1 i = 1 12 - 1 10

Assim,

1 i = 10 - 12 120 → i = - 120 2

Portanto,

i = - 60   c m

Passo 3

A ampliação longitudinal é

m ' = L ' L = f p - f 2

Queremos mostrar que isso é igual a m 2 , onde

m = h ' h = - i p

Substituindo i = f p p - f , temos que

m = - f p p - f p = - f p - f

Elevando essa equação ao quadrado, temos que

m 2 = f p - f 2

Com isso, provamos que

m ' = m 2

Resposta

Demonstração.

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