Enunciado

Um espelho esférico tem distância focal f . Ache duas posições de um objeto para as quais o tamanho da imagem é A vezes maior que o tamanho do objeto. Discuta todos os casos possíveis, conforme o espelho seja côncavo ou convexo e a imagem seja real ou virtual; em cada caso, desenhe o traçado de raios mostrando as posições de objetos e imagem em relação ao vértice e ao foco do espelho.

Passo 1

Bom, sabemos que para um espelho esférico, valem as relações para o aumento lateral:

m = y ' y = - q p = f f - p

No enunciado, foi dito que o tamanho da imagem deve ser A vezes maior que o tamanho do objeto. Com isso, devemos ter m = A .

Se m = + A , temos que q < 0 (imagem virtual). Por outro lado, se m = - A , temos que q > 0 e a imagem é real. Vamos tratar os dois casos.

Passo 2

Primeiro com m = + A :

A = f f - p ⇒ A f - A p = f

Logo,

A p = A f - f

Por fim

p = A - 1 A   f

Como A > 1 (o enunciado disse claramente que a imagem é maior que o objeto), temos que

A - 1 A > 0

Com isso, vemos que o sinal de p é o mesmo sinal de f ! Como p > 0 para objetos reais, devemos ter f > 0 . Portanto, o espelho deve ser côncavo!

Vamos analisar com bastante calma essa situação. Primeiro, como m = + A > 0 , a imagem é direita. Com isso, nessa situação, a imagem formada pelo espelho concavo é direita, maior que o objeto e será virtual (pois m > 0 ⇒ q < 0 ).

Note também que

p < f

pois A - 1 < A . Assim, para que isso ocorra num espelho côncavo, o objeto deve estar entre o foco e o vértice do espelho, como mostrado na figura:

Passo 3

Agora vamos para o caso em que m = - A < 0 :

- A = f f - p ⇒ - A f + A p = f

Portanto,

A p = A f + f

Logo,

p = A + 1 A f

Novamente, como p > 0 , devemos ter f > 0 . Assim, essa situação também contempla espelhos côncavos! Basta lembrar que para espelhos convexos, objetos reais só produzem imagens menores, por isso eles não aparecem nesse problema...

Nesse caso, vamos ter p > f (objeto antes do foco) e q > 0 (imagem real):

Resposta

m = - A ⇒ p = A - 1 A   f

m = A ⇒ p = A + 1 A   f

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