Enunciado

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13.13E Considere as n raízes enésima da unidade, ou seja, as n soluções de z = 1 n , para A) n = 2 , B) n = 3 e C) n = 4 . Para cada valor de n , represente as soluções encontradas em um gráfico no plano complexo x ,   i y .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, vocês já ouviram falar que o número 1 possui mais de uma raiz para alguma raiz n-ésima? Pois bem, o exercício quer que a gente encontre as raízes (no plural) n-ésima do número 1 !!

Calma lá meu patrão, porque isso vai ser bonito de ver, saca só, temos a representação imaginária do nosso número z , tal que:

z = x + i y

E além disso, queremos sua raiz n-ésima, do tipo:

z 1 n = z n

Ou seja, queremos um número tal que:

ω = z 1 n

Onde ω é a nossa raiz. Logo:

ω n = z

Passo 2

Show de bolinhas, agora que a brincadeira começa a ficar divertida. Se liga, um número complexo também pode ser expresso da forma polar, tal que:

z = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

Da mesma maneira para ω , mas com outros parâmetros, temos:

ω = b cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ

Onde a e b são os respectivos módulos de cada número imaginário. Logo, nossa igualdade será:

ω n = z

b cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

b n cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

Passo 3

Mas calma lá jovem mancebo, porque o bizu master aqui, é a gente aplicar a Fórmula de De Moivre, que nos diz que, para parâmetros unitários a seguinte igualdade é satisfeita:

cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = cos ⁡ n θ + i sen ⁡ n θ

E se a gente substituir na equação, obtemos que:

b n cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ n = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

b n cos ⁡ n θ + i sen ⁡ n θ = a cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ

Logo:

b n cos ⁡ n θ + b n i sen ⁡ n θ = a cos ⁡ ϕ + a i sen ⁡ ϕ

Então pela semelhança de números imaginários, chegamos nas igualdades:

b n cos ⁡ n θ = a cos ⁡ ϕ b n i sen ⁡ n θ = a i sen ⁡ ϕ

Portanto:

b n = a ,     n θ = ϕ + 2 k π

Onde k representa o numero n de voltas que o ângulo ϕ pode dar para um dado n θ , tal que k = 0 ,   1 ,   … ,   n - 1 . Sabendo disso, podemos voltar na nossa igualdade e substituir os termos, tal que:

ω = z 1 n

ω = a 1 n cos ⁡ 1 n ϕ + 2 k π + i sen ⁡ 1 n ϕ + 2 k π

ω = a 1 n cos ⁡ ϕ + 2 k π n + i sen ⁡ ϕ + 2 k π n

Portanto a raiz n-ésima de um número complexo z é dada pela expressão:

ω = a n cos ⁡ ϕ + 2 k π n + i sen ⁡ ϕ + 2 k π n

Onde ϕ é nosso conhecidíssimo ângulo expresso pela relação:

ϕ = arctan ⁡ y x

Dado o número complexo z = x + i y .

Passo 4

Show, descobrimos então como encontrar a raiz n-ésima de qualquer número expresso como:

z = x + i y

MAAASSS, o enunciado quer a gente faça isso para o número 1 .

Mas se liga só, no número imáginario, representamos a parte imaginária y i e a parte real x , no caso do número 1 temos somente a parte real, tal que:

z = 1 + 0 i

De forma que x = 1 e y = 0 . Belezoca, então o módulo desse número será:

z = 1 2 + 0 2

z = 1

Dessa maneira, podemos expressar as raízes como:

ω = a n cos ⁡ ϕ + 2 k π n + i sen ⁡ ϕ + 2 k π n

ω = 1 n cos ⁡ ϕ + 2 k π n + i sen ⁡ ϕ + 2 k π n

ω = cos ⁡ ϕ + 2 k π n + i sen ⁡ ϕ + 2 k π n

Além disso, vamos ter que o ângulo ϕ será:

ϕ = arctan ⁡ y x

ϕ = arctan ⁡ 0 1

ϕ = arctan ⁡ 0 = 0

Portanto as raízes de z serão da forma:

ω = cos ⁡ 2 k π n + i sen ⁡ 2 k π n

Passo 5

Iradoso, então agora a gente só precisa encontrar os valores para cada respectivo n . Na letra (A) temos que n = 2 , logo:

ω = cos ⁡ 2 k π 2 + i sen ⁡ 2 k π 2

ω = cos ⁡ k π + i sen ⁡ k π

E teremos que k = 0 ,   1 . Logo, para k = 0 temos:

ω 1 = cos ⁡ 0 + i sen ⁡ 0

ω 1 = 1 + i 0

ω 1 = 1

E para k = 1 , obtemos:

ω 2 = cos ⁡ π + i sen ⁡ π

ω 2 = - 1 + i 0

ω 2 = - 1

Portanto quando n = 2 , possuímos 2 raizes 1 ,   - 1

Passo 6

Agora na letra (B), temos n = 3 , logo:

ω = cos ⁡ 2 k π 3 + i sen ⁡ 2 k π 3

ω = cos ⁡ 2 3 k π + i sen ⁡ 2 3 k π

E também temos que k = 0 ,   1 ,   2 . Portanto, primeiro para k = 0 :

ω 1 = cos ⁡ 0 + i sen ⁡ 0

ω 1 = 1

Agora para k = 1 :

ω 2 = cos ⁡ 2 3 π + i sen ⁡ 2 3 π

ω 2 = - 1 2 + 3 2 i

E por fim para k = 2 , temos que:

ω 3 = cos ⁡ 4 3 π + i sen ⁡ 4 3 π

ω 3 = - 1 2 - 3 2 i

Portanto, para n = 3 temos 3 raízes distintas:

1 , - 1 2 + 3 2 i , - 1 2 - 3 2 i    

Passo 7

E por último, mas não menos importante, na letra (C) temos n = 4 :

ω = cos ⁡ 2 k π 4 + i sen ⁡ 2 k π 4

ω = cos ⁡ k π 2 + i sen ⁡ k π 2

E teremos que k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 . Portanto, começando pelo k = 0 :

ω 1 = 1

Agora para k = 1 , temos:

ω 2 = cos ⁡ π 2 + i sen ⁡ π 2

ω 2 = i

Para k = 2 :

ω 3 = cos ⁡ π + i sen ⁡ π

ω 3 = - 1 + i 0

ω 3 = - 1

E por fim para k = 3 :

ω 4 = cos ⁡ 3 π 2 + i sen ⁡ 3 π 2

ω 4 = - i

Portanto as raízes para n = 4 são:

1 ,   i ,   - 1 ,   - i

Resposta

  1. 1 ,   - 1
  2. 1 , - 1 2 + 3 2 i , - 1 2 - 3 2 i    
  3. 1 ,   i ,   - 1 ,   - i

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