Enunciado

Um oscilador harmônico começa a oscilar em t = 0 . Após 1 / 4 de período, sua energia cinética é 3 vezes maior que a energia potencial. Qual é a fase inicial? (Dê todos os valores possíveis).

Passo 1

Vamos começar escrevendo a equação de movimento do oscilador harmônico:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Mas como ω = 2 π / τ , podemos escrever:

x t = A cos ⁡ 2 π τ t + ϕ

A fórmula para a energia cinética do oscilador é a seguinte:

K = 1 2 m x ˙ 2

E a energia potencial é:

U = 1 2 k x 2

Passo 2

Após 1 / 4 de período, o instante de tempo é:

t = 1 4 τ

E então o deslocamento é:

x τ 4 = A cos ⁡ 2 π τ τ 4 + ϕ

x τ 4 = A cos ⁡ π 2 + ϕ

Vamos calcular as energias potencial e cinética nesse instante:

t = τ 4         ⇒           U = 1 2 k A cos ⁡ π 2 + ϕ 2

U = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ π 2 + ϕ

E para a energia cinética precisamos derivar a expressão de x ( t ) em relação ao tempo:

x ˙ t = - A 2 π τ sen ⁡ 2 π τ t + ϕ

x ˙ τ 4 = - A 2 π τ sen ⁡ π 2 + ϕ

Então a energia cinética é:

t = τ 4         ⇒           K = 1 2 m A 2 π τ sen ⁡ π 2 + ϕ 2

  K = 1 2 m A 2 2 π τ 2 sen 2 ⁡ π 2 + ϕ

Passo 3

O enunciado diz que, quando t = 1 4 τ , a energia cinética é três vezes a energia potencial:

K = 3 U

1 2 m A 2 2 π τ 2 sen 2 ⁡ π 2 + ϕ = 3 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ π 2 + ϕ

m 2 π τ 2 sen 2 ⁡ π 2 + ϕ = 3 k cos 2 ⁡ π 2 + ϕ

Vimos que ω = 2 π / τ , então:

m ω 2 sen 2 ⁡ π 2 + ϕ = 3 k cos 2 ⁡ π 2 + ϕ

E também sabemos que k = m ω 2 , então:

sen 2 ⁡ π 2 + ϕ = 3 cos 2 ⁡ π 2 + ϕ

tan ⁡ π 2 + ϕ = ± 3

E as soluções possíveis são ± π / 6 e ± 5 π / 6 . Outra forma de escrever isso é:

ϕ = ± π 6 ± π

Resposta

A fase inicial é ϕ = ± π 6 ± π .

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