Enunciado

22. Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A . a ) Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual à energia cinética? (Suponha que U = 0 no equilíbrio.) b ) Quantas vezes isso ocorre em um ciclo? Qual o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas? c ) No momento em que o deslocamento é igual a A / 2 , qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração correspondente à energia potencial?

Passo 1

Nesse problema será conveniente usar a conservação de energia mecânica, dada pela seguinte expressão:

K + U = E

Mas o enunciado nos pede para encontrar os módulos da posição e da velocidade quando K = U , assim nossa fórmula pode tomar as seguintes formas:

2 K = E

Ou

2 U = E

A primeira será conveniente usar para achar a velocidade e a segunda para achar a posição, já que energia cinética envolve velocidade e a potencial envolve a posição.

A parti do momento que encontramos esses valores, poderemos ver quantas vezes acontece em um ciclo.

Para achar o intervalo de tempo, teremos que usar uma função que dependa do tempo, ou da posição ou da velocidade, acho melhor usarmos da posição que é mais simples.

x = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Nesse caso vamos escolher ϕ = 0 para o caso de x = A em t = 0 , a fim de facilitar nossa vida nas contas, então:

x = A cos ⁡ ω t

Assim teremos que ver o valor de t para cada valor de x e fazer um Δ t para achar o valor do intervalo das ocorrências consecutivas.

Para achar as frações das energias pedidas em ( c ) vamos analisar a fórmula da conservação da energia mecânica em x = A / 2 .

Passo 2

Então, vamos abrir as duas equações mencionadas no passo 1 , referentes a conservação de energia, então:

2 K = E

⇒ 2 1 2 m v 2 = E

E

2 U = E

⇒ 2 1 2 k x 2 = E

Agora temos que definir uma fórmula pra E , vamos pensar no seguinte, pela conservação de energia E = c o n s t a n t e , então seu valor nunca muda.

Quando um objeto em M H S está na posição x = A , ele só tem energia potencial, logo:

E = 1 2 k A 2

E como esse valor é constante, então temos que:

2 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

⇒ m v 2 = 1 2 k A 2

⇒ v = ± A k m 1 2

Mas lembrando que:

ω = k m

Então temos que:

v = ± A ω 1 2

E temos

2 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

⇒ k x 2 = 1 2 k A 2

⇒ x = ± A 1 2

Então a magnitude da posição e da velocidade são:

x = A 1 2

E

v = A ω 1 2

Passo 3

Agora vamos analisar o movimento para saber quantas vezes passamos pelo ponto U = K , então começando em x = 0 que é nosso equilíbrio, o objeto caminha até em x = A e passa por x = + A / 2 uma vez, depois quando ele está voltando ela passa mais uma vez por essa posição.

Depois o objeto caminha até x = - A e passa por x = - A / 2 e na hora de voltar ele passa mais uma vez por esse ponto e parando em x = 0 , completando assim um ciclo.

Então em um ciclo o objeto passa pelo ponto onde U = K quatro vezes.

Passo 4

Agora para achar o intervalo de tempo pedido no enunciado, vamos ter que perceber primeiro que temos um intervalo de tempo ( Δ t a ) do ponto x = + A / 2 até o ponto   x = - A / 2 e vice e versa e temos também um intervalo de tempo ( Δ t b ) de quando o objeto passa por x = + A / 2 ou x = - A / 2 até o ponto A ou - A e volta passando por x = + A / 2 ou x = - A / 2 novamente. Essas são as situações consecutivas pedidas no enunciado.

Assim temos o seguinte:

Δ t a = t 2 - t 1

Onde t 1 para x 1 = A / 2 e t 2 para x 2 = - A / 2

E temos também que:

Δ t b = t 2 - t 1

Onde t 1 para x 1 = - A / 2 e t 2 para x 2 = - A / 2 , mas o detalhe diferente para essa situação é a uma fase ϕ = π 2 que o movimento ganha na hora que inverte o sentido.

Vamos calcular os tempos para primeira situação. Temos:

x 1 = A cos ⁡ ω t 1

A 2 = A cos ⁡ ω t 1

⇒ cos ⁡ ω t 1 = 1 2

⇒ ω t 1 = arccos ⁡ 1 2

⇒ ω t 1 = π 4

Assim:

⇒ t 1 = π 4 ω

E para t 2 , temos:

x 2 = A cos ⁡ ω t 2

- A 2 = A cos ⁡ ω t 2

⇒ cos ⁡ ω t 2 = - 1 2

⇒ ω t 2 = arccos ⁡ - 1 2

⇒ ω t 2 = 3 π 4

Assim:

⇒ t 2 = 3 π 4 ω

Então nosso primeiro intervalo de tempo fica:

Δ t a = t 2 - t 1

= 3 π 4 ω - π 4 ω = π 2 ω

Agora vamos para a outra situação, para achar o outro intervalo de tempo.

x 1 = A cos ⁡ ω t 1

- A 2 = A cos ⁡ ω t 1

⇒ cos ⁡ ω t 1 = - 1 2

⇒ ω t 1 = arccos ⁡ - 1 2

⇒ ω t 1 = 3 π 4

Assim:

⇒ t 1 = 3 π 4 ω

E para t 2 , temos:

x 2 = A cos ⁡ ω t 2

- A 2 = A cos ⁡ ω t 2

⇒ cos ⁡ ω t 2 = - 1 2

Mas como foi dito antes, essa parte ganha uma fase π / 2 , então:

ω t 2 = ω t 1 + π 2

Assim:

⇒ ω t 2 = 3 π 4 + π 2

⇒ t 2 = 3 π 4 ω + π 2 ω

⇒ t 2 = 5 π 4 ω

Então nosso segundo intervalo de tempo fica:

Δ t b = t 2 - t 1

= 5 π 4 ω - 3 π 4 ω = π 2 ω

Passo 5

Agora vamos abrir a equação da conservação de energia para encontrarmos as frações de energia cinética e potencial no ponto x = A / 2 . Então temos:

K + U = E

⇒ K = E - U

⇒ K = 1 2 k A 2 - 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 - 1 2 k A 2 2

⇒ K = 1 2 k A 2 - 1 8 k A 2 = 3 8 k A 2

Assim achamos um valor para K , agora falta encontrar a fração das energias em relação a energia total.

Para energia cinética temos:

K E = 3 8 k A 2 1 2 k A 2 = 3 4

E para energia potencial temos:

K E = 1 8 k A 2 1 2 k A 2 = 1 4

Resposta

a

x = A 1 2

v = A ω 1 2

( b )

O objeto passa por pontos em que U = K   4 vezes e os intervalos de tempo entre dois pontos consecutivos é Δ t a = π 2 ω e Δ t b = π 2 ω .

( c )

K E = 3 4

K E = 1 4

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