Enunciado

76. Um parafuso de 0,0200   k g executa um M H S com amplitude igual a 0,240   m e período igual a 1,500   s . O deslocamento do parafuso é igual a + 0,240   m quando t = 0 . Calcule: a ) o deslocamento do parafuso quando t = 0,500   s ; b ) o módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando t = 0,500   s ; c ) o tempo mínimo necessário para que o parafuso se desloque da posição inicial até um ponto x = - 0,180   m ; d ) a velocidade do parafuso quando x = - 0,180   m .

Passo 1

Para esse problema o melhor caminho é através das equações da posição, velocidade em função do tempo e da aceleração do M H S , que são respectivamente:

x = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

v = - A ω s in ⁡ ( ω t + ϕ )

a = - ω 2 x

⇒ a = - ω 2 A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Para o caso que o enunciado nos dá, temos que ϕ = 0 , pois em t = 0 temos x = + 0,240   m = A .

Assim, ficamos com:

x = A cos ⁡ ( ω t )

v = - A ω sin ⁡ ( ω t )

a = - ω 2 A cos ⁡ ( ω t )

Como o enunciado não nos dá um valor para ω , vamos escrevê-lo de outra forma, temos que:

ω = 2 π f

E

f = 1 T

Assim, temos:

ω = 2 π T

Para achar a posição x em t = 0,500   s , basta substituir esse tempo na equação da posição e realizar as operações.

O módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando t = 0,500   s , basta lembrar que segundo a segunda lei de Newton temos:

F = m a

E que a aceleração em t = 0,500   s podemos achar com a equação da aceleração que está mais acima.

O tempo que o parafuso leva da posição em inicial até a posição x = - 0,180   m é igual ao tempo nesse ponto menos o tempo na posição inicial, mas como t = 0 , na posição inicial, basta achar o tempo na posição mencionada anteriormente.

Poderemos achar isso através da equação da posição que falamos acima e isolarmos t ..

E para achar a velocidade nessa mesma posição basta usar a equação da velocidade e isolarmos t .

Passo 2

Vamos primeiro achar a posição para t = 0,500   s , temos o seguinte:

x = A cos ⁡ ( ω t )

Substituindo o que sabemos, temos:

x = 0,24 cos ⁡ 2 π T 0,5

Lembrando que T = 1,50   s , ficamos com:

x = 0,24 cos ⁡ 2 π 1,5 0,5

⇒ x = - 0,12   m

Passo 3

Agora vamos achar o módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando t = 0,500   s , para isso vamos usar a seguinte fórmula:

F = m a

Lembrando que:

a = - ω 2 A cos ⁡ ( ω t )

Assim, temos:

F = - m ω 2 A cos ⁡ ( ω t )

Substituindo o que sabemos, temos:

F = - 0,02 2 π T 2 0,24 cos ⁡ 2 π T 0,5

Lembrando que T = 1,50   s , ficamos com:

F = - 0,02 2 π 1,5 2 0,24 cos ⁡ 2 π 1,5 0,5

⇒ F = - 0,084 cos ⁡ 2 π 1,5 0,5

Então temos que:

F = 0,042   N

E essa força aponta para direção positiva de x .

Passo 4

Vamos achar o tempo para o parafuso chegar na posição x = - 0,180   m e vamos achar esse tempo isolando t na equação da posição. Temos:

x = A cos ⁡ ( ω t )

Isolando t .

ω t = arccos ⁡ x A

⇒ t = 1 ω arccos ⁡ x A

Substituindo o que sabemos, temos:

t = T 2 π arccos ⁡ - 0,18 0,24

Lembrando que T = 1,50   s , ficamos com:

t = 1,5 2 π arccos ⁡ - 0,18 0,24

⇒ t = 0,577   s

Passo 5

Agora só resta achar a velocidade no ponto x = - 0,180   m , mas na equação da velocidade não temos o x presente, mas graças ao passo anterior, sabemos o valor de t que podemos colocar na equação da velocidade e saber a velocidade nesse instante de tempo que é o instante da posição x .

Temos o seguinte:

v = - A ω sin ⁡ ( ω t )

Substituindo o que sabemos, temos:

v = - 0,24 2 π T sin ⁡ 2 π T 0,577

Lembrando que T = 1,50   s , ficamos com:

v = - 0,24 2 π 1,5 sin ⁡ 2 π 1,5 0,577

Então temos que:

v = - 0,666   m / s

Resposta

( a )

x = - 0,12   m

( b )

F = 0,042   N

E essa força aponta para direção positiva de x .

( c )

t = 0,577   s

( d )

v = - 0,666   m / s

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