Enunciado

75. Uma perdiz de 5,0   k g está pendurada em uma pereira por uma mola ideal de massa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo a uma distância de 0,100   m abaixo da sua posição de equilíbrio é libertada, ela oscila com um período igual a 4,20   s . a ) Qual é a sua velocidade quando ela passa pela posição de equilíbrio? b ) Qual é a sua aceleração quando ela está a 0,050   m acima da posição de equilíbrio? c ) Quando ela está se movendo para cima, quanto tempo é necessário para que ela se mova de um ponto 0,050   m abaixo de equilíbrio até um ponto 0,050   m acima do equilíbrio? d ) O movimento da perdiz é interrompido e ela é removida da mola. De quanto a mola se encurta?

Passo 1

Para achar a primeira coisa que é pedida que é a velocidade no ponto de equilíbrio, vamos usara fórmula da energia mecânica total e fato de ela se conservar, a equação é a seguinte:

1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

Só que como vamos avaliar no ponto de equilíbrio, não temos energia potencial. Assim;

1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

Isolando a velocidade, temos:

v = A k m

O enunciado não nos diz o valor da constante elástica, mas podemos achar o valor do termo k / m , através da fórmula do período, já que sabemos o valor dele, então temos o seguinte:

T = 2 π m k

⇒ k m = 2 π T

Encontrando o valor desse termo basta substituir na equação que achamos para a velocidade.

Para achar aceleração no ponto 0,05   m acima do equilíbrio, vamos utilizar a segunda lei de Newton, já que nesse ponto só temos uma força atuando que é a força elástica, logo nossa força resultante, assim:

F R = - k x

⇒ m a = - k x

Pronto, aparece a aceleração que queríamos saber, assim ficamos com:

a = - k m x

O termo k / m pode ser tirado através do que já encontramos anteriormente.

Para saber quanto tempo se leva do ponto 0,05   m abaixo do equilíbrio até o ponto 0,05   m acima do ponto de equilíbrio, vamos usar a equação da posição de um M H S , que é dada por:

x = A cos ⁡ ω t + ϕ

Só que nesse caso ϕ = 0 , já que em t = 0 , temos x = 0,100   m , assim:

x = A cos ⁡ ω t

Então basta substituir o as posições que temos em x e isolar o t para achar em cada posição e depois fazer a diferença entre os tempos para ver quanto tempo leva de um ponto ao outro.

Para achar o quanto a mola se contraiu, vamos considerar o sistema em equilíbrio, assim a força peso da perdiz deve ser igual a força elástica, para que não haja movimento e não tenhamos força resultante, assim:

m g = k d

Onde d é o quanto a mola se esticou depois que a perdiz foi presa nela, então esse valor será o mesmo que vai se contrair quando a perdiz for retirada.

Assim:

d = m g k

Passo 2

Primeiro vamos achar o valor do termo k / m   utilizando a fórmula do período, temos:

k m = 2 π T

Substituindo o valor do período, temos:

k m = 2 π 4,2

= 1,5

Passo 3

Agora podemos encontrar a velocidade, temos a seguinte equação:

v = A k m

Substituindo os valores que conhecemos, ficamos com:

v = 0,1 ( 1,5 )

⇒ v = 0,15   m / s

Passo 4

Agora vamos encontrar a aceleração no ponto 0,050   m acima do ponto de equilíbrio.

Temos a seguinte equação:

a = - k m x

Só que no caso x = - 0,050   m já que vamos considerar acima do ponto equilíbrio como a parte negativa, assim:

a = - 1,5 2 ( - 0,05 )

a = 0,112   m / s 2

Passo 5

Agora, vamos achar o tempo para o ponto x = - 0,05   m e x = 0,05   m , usando a equação da posição, temos então:

x = A cos ⁡ ω t

Antes, vamos lembrar que:

ω = k m = 1,5

Vamos analisar para x = 0,05   m primeiro, então:

0,05 = 0,1 cos ⁡ 1,5 t

⇒ cos ⁡ ( 1,5 t ) = 0,5

Assim, temos:

1,5 t = arccos ⁡ 0,5

⇒ t = 1 1,5 arccos ⁡ 0,5

⇒ t = 0,7   s

Vamos analisar agora para x = - 0,05   m , então:

- 0,05 = 0,1 cos ⁡ 1,5 t

⇒ cos ⁡ ( 1,5 t ) = - 0,5

Assim, temos:

1,5 t = arccos ⁡ - 0,5

⇒ t = 1 1,5 arccos ⁡ - 0,5

⇒ t = 1,4   s

Assim temos que o tempo de um ponto ao outro é:

1,4 - 0,7 = 0,7   s

Passo 6

Agora vamos achar o quanto a mola se comprimiu através da seguinte fórmula:

d = m g k

Bem, sabemos que:

k m = 1,5 2

Então:

m k = 1 1,5 2

Assim nossa equação fica da seguinte maneira:

d = 1 1,5 2 ( 9,8 )

Então temos que:

d = 4,36   m

Resposta

( a )

v = 0,15   m / s

( b )

a = 0,112   m / s 2

( c )

0 , 7   s

( d )

d = 4,36   m

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