Enunciado

Uma partícula de 4,0   k g se move em um plano x y . No instante em que a posição e a velocidade da partícula são r → = 2,0   i ^ + 4,0   j ^ m e v → = - 4,0   j ^   m / s , a força que age sobre a partícula é F → = - 3,0   i ^   N . Nesse instante, determine (a) o momento angular da partícula em relação à origem, (b) o momento angular da partícula em relação ao ponto x = 0 , y = 4,0   m , (c) o torque que age sobre a partícula em relação à origem e (d) o torque que age sobre a partícula em relação ao ponto x = 0 , y = 4,0   m

Passo 1

(a) Vamos lembrar da fórmula para o momento angular de uma partícula:

L → = r → × p →

L → = r → × m v →

L → = 2,0   i ^ + 4,0   j ^ × 4,0 - 4,0   j ^

L → = 2,0   i ^ + 4,0   j ^ × - 16   j ^

E podemos resolver esse produto vetorial escrevendo-o como um determinante:

L → = i ^ j ^ k ^ 2,0 4,0 0 0 - 16 0

L → = - 16 2,0 k ^

L → = - 32   k ^   k g ∙ m 2 s

Passo 2

(b) Para calcular o momento angular em relação a outro ponto, a única diferença será no vetor posição.

Se antes tínhamos r → = 2,0   i ^ + 4,0   j ^   m em relação a origem, o vetor posição em relação ao ponto 0   ,   4,0 será:

r ' → = 2,0   i ^ + 4,0   j ^ - 4,0   j ^ = 2,0   i ^   m

E agora podemos pular direto para o nosso determinante, mudando apenas as coordenadas do vetor posição:

L → = r → × p → = i ^ j ^ k ^ 2,0 0 0 0 - 16 0

L → = - 32     k ^   k g ∙ m 2 s

L → = - 32   k ^   k g ∙ m 2 s

Passo 3

(c) Para calcular o torque, temos que usar a seguinte fórmula:

τ → = r → × F →

τ → = 2,0   i ^ + 4,0   j ^ × - 3,0   i ^

τ → = i ^ j ^ k ^ 2,0 4,0 0 - 3,0 0 0 = 12   k ^   N ∙ m

Passo 4

(d) E quando usamos r ' → , só precisamos fazer uma pequena modificação:

τ → = r ' → × F →

τ → = 2,0   i ^ × - 3,0   i ^

τ → = i ^ j ^ k ^ 2,0 0 0 - 3,0 0 0 = 0

Resposta

(a) O momento angular é L → = - 32   k ^   k g ∙ m 2 s .

(b) O momento angular em relação ao ponto 0 ,   4,0 é L → = - 32   k ^   k g ∙ m 2 s .

(c) O torque é τ → = 12   k ^   N ∙ m .

(d) O torque em relação ao ponto (0, 4,0) é zero.

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