Enunciado

Uma partícula de carga positiva Q é mantida fixa no ponto P. Uma segunda partícula de massa m e carga negativa -q se move com velocidade constante em uma circunferência de raio r 1 e centro em P. Escreva uma expressão para o trabalho W que deve ser executado por um agente externo sobre a segunda partícula para que o raio da circunferência aumente para r 2 .

Passo 1

A situaação aqui é uma particula parada de carga Q e outra particula de massa m e carga -q que se move em uma circunfeência de raio r 1 . A questão pede para escrever qual o trabalho para mudar o raio da circunferência r 2

A partícula de carga –q possui energia potencial e energia cinética, que dependem do raio da

órbita. Para começar, vamos obter uma expressão para a energia total em termos do raio r da órbita. A força de atração da partícula de carga Q é responsável pelo movimento circular uniforme da carga –q. O módulo dessa força é F = Q q / 4 π ϵ 0 r 2 . A aceleração da partícula de

carga –q é v ² / r , na qual v é a velocidade da partícula. De acordo com a segunda lei de Newton, temos:

Q q 4 π ϵ 0 r ² = m v ² r → m v ² = Q q 4 π ϵ 0 r ,

o que nos dá uma energia cinética

K = m v ² 2 = Q q 8 π ϵ 0 r

A energia potencial é

U = - Q q 4 π ϵ 0 r

e a energia total é

E = K + U = Q q 8 π ϵ 0 r - Q q 4 π ϵ 0 r = - Q q 8 π ϵ 0 r

Passo 2

Quando o raio da órbita é r 1 , a energia é E 1 = - Q q / 4 π ϵ 0 r 1 ; quando o raio da órbita é r 2 , a energia é E 2 = - Q q / 4 π ϵ 0 r 2 . A diferença E 2 – E 1 é o trabalho W realizado por um agente externo para mudar o raio:

W = E 2 - E 1 = - Q q 8 π ϵ 0 r × 1 r 2 - 1 r 1 = Q q 8 π ϵ 0 r × 1 r 1 - 1 r 2

Resposta

W = Q q 8 π ϵ 0 r × 1 r 1 - 1 r 2

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