Enunciado

Uma partícula se move em um cirulo centrado na origem. A posição da partícula é r → e sua velocidade angular é ω → . (a) Mostre que sua velocidade é dada por v → = ω → × r → . Mostre que sua aceleração centrípeta é dada por a c → = ω → × v → = ω → × ω → × r → .

Passo 1

Essas formulas que vamos mostrar são bem importantes, então é interessante que você as memorize!

a) Vamos considerar o seguinte:

Nosso vetor r → no plano x y e ω → saindo do plano, isto é, no eixo z !

Passo 2

As coisas vão ficar assim ó:

Como r → aponta para o direção positiva de x :

r → = r i ^

E ω → aponta para o direção positiva de z :

ω → = ω k ^

Logo,

ω → × r → = ω k ^ × ( r i ^ )

Isto é:

ω → × r → = ω r k ^ × i ^ = v   j ^

Passo 3

Para o item (b):

a → = d v → d t = d d t ω → × r → = d ω → d t × r → + ω × d r → d t

A brincadeira que fizemos ali em cima foi tipo uma a regra do produto lá de derivada 😉

Continuando, temos:

a → = d ω → d t × r → + ω × d r → d t = α → × r → + ω → × v →

Lembrete: a t = α → × r →

a → = a t → + ω → × ω → × r →

Como a → = a t → + a c → :

a c → = ω → × ω → × r →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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