Enunciado

A peça de uma máquina consiste de uma barra estreita de 40,0   c m de comprimento e possui pequenas massas de 1,15   k g presas por parafusos nas extremidades. Os parafusos podem suportar uma força máxima de 75,0   N , sem se soltarem. Essa barra gira sobre um eixo perpendicular a ela, no seu centro. a) À medida que a barra gira a uma taxa constante, sobre uma superfície horizontal sem atrito, qual é a velocidade escalar máxima que as massas podem ter, sem que os parafusos se soltem? b) Suponha que a máquina seja redesenhada, de modo que a barra gire a uma taxa constante, perfazendo um círculo vertical. É mais provável que um dos parafusos se solte quando a massa estiver no topo do círculo, ou na base do círculo? Use um diagrama do corpo livre para entender por quê. c) Usando o resultado obtido em (b), qual é a maior velocidade escalar que as massas podem ter, sem que um parafuso se solte?

Passo 1

Fala galera! Beleza?! Bora resolver essa questão!

Temos uma barra estreita de 40   c m de comprimento com pequenas massas de 1,15   k g presas a ela por parafusos. Esses parafusos podem suportar até 75   N sem se soltarem e a barra está girando sobre um eixo perpendicular a ela.

Sabendo disso, nós devemos determinar (a) a velocidade escalar máxima que as massas podem ter, (b) verificar onde é mais provável que um dos parafusos se soltem e (c) usar o resultado o item (b) para determinar também a maior velocidade escalar que as massas podem ter pra evitar que os parafusos se soltem.

Para isso, vamos usar a equação da aceleração circular ( a = v 2 R ) junto com a segunda lei de Newton para determinas as forças e acelerações atuantes no nosso sistema.

Vamos lá!

Passo 2

Temos que a barra se move em um caminho circular, então sua aceleração é dada por:

a c e n t r = v 2 R

A aceleração é direcionada para o centro.

Temos um diâmetro de 40   c m , isso implica em um raio:

R = 40 c m 2 = 20 c m

Transformando para metros:

R = 0,200 m

Passo 3

a) Vamos adotar o eixo positivo x na direção ao centro do círculo. Assim, a y = a c e n t r .

E então, amos aplicar a 2º lei de Newton:

∑ F x = m a x

Substituindo a aceleração centrípeta a c e n t r :

F = m a c e n t r

F = m v 2 R

E isolando v na equação:

⇒     v = F R m

Substituindo os valores do enunciado, obtemos a velocidade escalar:

v = 75 N ⋅ 0,200 m 1,15 k g

v = 3,61 m / s

Passo 4

b) Agora, para o e i x o   y : vamos adotar como + y sendo para baixo quando a massa está no topo do círculo e + y sendo para cima quando a massa está no fundo do círculo.

Assim, a segunda lei de Newton nos fornece:

∑ F y = m a y

Vamos esboçar o diagrama de corpo livre de cada caso antes:

No topo, temos:

F t o p o = m a c e n t r - m g

E na parte inferior:  

  F i n f e r i o r = m g + m a c e n t r

Logo, para uma determinada taxa de rotação, o valor da força   F necessária é maior na parte inferior do caminho.

Passo 5

c) Assim, usando o resultado do passo anteriro, vamos ter:

F = m g + m a c e n t r

⇒     F = m g + m v 2 R

⇒     v 2 R = F m - g

E então, chegamos a velocidade escalar na forma:

v = R F m - g

D a d o s :     R = 0,200 m F = 75 N m = 1,15 k g g = 9,8 m / s 2

Assim, temos:

v = 0,200 m 75 N 1,15 k g - 9,8 m / s 2

v = 3,33 m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. v = 3,61 m / s
  2. F i n f e r i o r = m g + m a c e n t r
  3. v = 3,33 m / s
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