Enunciado

Uma película de sabão ( n = 1,40 ) com 600   n m de espessura é iluminada perpendicularmente com luz branca. Para quantos comprimentos de onda diferentes na faixa de 300 a 700   n m a luz refletida apresenta (a) interferência construtiva total e (b) interferência destrutiva total?

Passo 1

A questão trata sobre interferência em filmes finos. A figura ilustra a situação com um filme fino de sabão cuja espessura é x = 600   n m entre duas camadas de ar.

No caso temos que n s a b a o = 1,40 > 1,00 = n a r . Assim, na reflexão que ocorre na interface 1 há mudança de fase enquanto que na interface 2 não há. Assim, além da diferença de caminho, devemos somar π na defasagem entre as ondas:

ϕ = 2 π λ s a b a o ⋅ 2 x + π

A diferença de caminho é 2 x (dobro da espessura da camada de sabão) e o fator π que foi somada é devido ao fato de em uma das reflexões a fase ter invertido enquanto na outra não! É importante lembrar que:

λ s a b a o = λ n ⇒ ϕ = 4 π n x λ + π = π   4 n x λ + 1

Passo 2

No item (a) queremos que a interferência seja construtiva, de modo que a fase deve ser múltipla inteira de 2 π :

ϕ = m ⋅ 2 π ⇒ 2 m = 4 n x λ + 1 ⇒ 4 n x λ = 2 m - 1

Portanto,

λ = 4 n x 2 m - 1 = 4 ⋅ 1,40 ⋅ 600   n m 2 m - 1 = 3360 2 m - 1   n m

Como queremos saber quantos comprimentos de onda estarão na faixa entre 300   n m e 700   n m , tomando λ = 300   n m :

300 = 3360 2 m - 1 ⇒ 2 m - 1 = 3360 300 = 11,2 ⇒ 2 m = 12,2 ⇒ m = 6,1

Para λ = 700   n m :

2 m - 1 = 3360 700 = 4,8 ⇒ 2 m = 5,8 ⇒ m = 2,9

Assim, os valores possíveis de m para que o comprimento de onda esteja na faixa visível são

m = 3 ,   4 ,   5 ,   6

Portanto, para quatro comprimentos de onda a interferência será construtiva!

Passo 3

Já para interferência destrutiva, devemos ter

ϕ = 2 m + 1   π

Assim,

2 m + 1 = 4 n x λ + 1 ⇒ m = 2 n x λ = 1680   n m λ

Para λ = 300   n m :

m = 1680 300 = 5,6

Já para λ = 700   n m :

m = 1680 700 = 2,4

Assím, nessa faixa, os valores de m para que a interferência seja destrutiva são

m = 3 ,   4 ,   5

Portanto, são três comprimentos de onda!

Resposta

Construtiva: 4

Destrutiva: 3

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