Enunciado

52. Um pêndulo de 80   c m de comprimento com uma bolinha de 0,60 kg é liberado do repouso a um ângulo inicial de θ 0 com a vertical. Na parte mais baixa da oscilação, a rapidez da

bolinha é de   2,8   m / s .

(a) Qunto vale θ 0 ?

(b) Qual o ângulo que o pêndulo faz com a vertical quando a velocidade da bolinha é de 1,4   m / s   ? Este ângulo é igual a metade de θ 0 ? Explique o porquê da resposta.

Passo 1

A figura mostra o pêndulo em sua posição de liberação e nas duas posições em que está em movimento, com as velocidades especificadas. Consideramos o sistema como o conjunto pêndulo e Terra e escolhemos U = 0   no ponto mais baixo da oscilação.

Em seguida, o que temos que fazer, é simplesmente aplicar conservação de energia mecânica para relacionar os dois ângulos de interesse com as velocidades da bolinha em sua trajetória.

Vamos por a mão na massa!

Passo 2

a) Vamos aplicar a conservação de energia mecânica para o sistema, onde K é a notação de energia cinética, U é a notação de energia potencial e W e x t é o trabalho da força externa. Então, chegamos a:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Mas como W e x t = 0 , uma vez que não existem forças externas atuando temos que:

∆ U + ∆ K = 0

Só que ∆ U e ∆ K , nada mais são do que a diferença entre as energias final   ( U f   e K f ) e inicial ( U i   e K i ). Com isso, obtemos que:

( U f -   U i + K f - K i ) = 0

Agora, vamos analisar com calma o nosso problema. Considerando que o que queremos inicialmente é o valor de θ 0 , vamos considerar a posiçao inicial como aquela em que oa bolinha está sendo liberada do repouso e a posição final, como aquela onde a bolinha passa pelo ponto mais baixo da trajétoria, com velocidade máxima. Bom, não é segredo pra ninguém, então, que U f e K i vão ser igual a zero. De maneira, que obtemos que:

K f -   U i = 0

K f = U i

Agora, vamos aplicar as fórmulas relativas a cada energia e conseguimos que:

1 2 m v f 2 = m g h

Mas h = L - L cos ⁡ θ 0 :

v f 2 = g L ( 1 - cos ⁡ θ 0 )

1 - cos ⁡ θ 0 = v f 2 g L

cos ⁡ θ 0 = 1 - v f 2 g L

θ 0 = cos - 1 ⁡ 1 - v f 2 g L

Substituindo os valores numéricos correspondentes, obtemos o valor pretendido do ângulo:

θ 0 = cos - 1 ⁡ 1 - ( 2,8   m / s ) 2 ( 9,8   m / s ² ) ( 0,8   m )

θ 0 ≅ 60 °

Passo 3

b) Assim como na letra a, vamos aplicar a conservação da energia mecânica para o nosso sistema. Mas desta vez, sem enrolação! Vamos direto pro que interessa

U f ' -   U i + K f ' - K i ) = 0

Onde U f ' e K f ' ,saõ respectivamente as energias potencial gravitacional e cinética, desta vez quando a bolinha encontra-se na altura h ' , onde a velocidade é igual a 1,4   m / s . Logo a relação de antes ficará assim:

U f ' -   U i + K f ' = 0

U f ' + K f ' = U i

Ah! Esqueci de falar! U i é a mesma da letra a

Vamos aplicar as fórmulas relativas a cada energia, sem perder tempo:

m g h = m g h ' + 1 2 m ( v ' ) 2

( v ' ) 2 = 2 g ( h - h ' )

v ' = 2 g ( h - h ' )

Mas h = L - L cos ⁡ θ 0 e h ' = L - L cos ⁡ θ :

( v ' ) 2 = 2 g ( L - L cos ⁡ θ 0 - L - L cos ⁡ θ )

( v ' ) 2 = 2 g L ( cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 )

cos ⁡ θ = v ' 2 2 g L + cos ⁡ θ 0

θ = cos - 1 ⁡ v ' 2 2 g L + cos ⁡ θ 0

Substituindo os valores numéricos correspondentes:

θ = cos - 1 ⁡ 1,4   m / s 2 2 ( 9,8   m / s ² ) ( 0,8   m ) + cos ⁡ 60 °

θ ≅ 51 °

Logo θ não é igual a metade de θ 0 . A explicação está no fato de que a energia potencial gravitacional é linearmente dependente do cosseno do ângulo e não do próprio ângulo.

Resposta

a) θ 0 ≅ 60 °  

b) θ ≅ 51 ° , que não é metade de θ 0 , porque a mudança na energia potencial gravitacional é linearmente dependente do cosseno do ângulo e não do próprio ângulo.

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