Enunciado

54. Um pêndulo consiste em uma bola de 2,0   K g presa a um fio leve de 3,0   m de comprimento. Quando suspensa em repouso com o fio na vertical, a bola recebe um impulso horizontal, que lhe imprime uma velocidade horizontal de 4,5   m / s . No instante em que o fio faz um ângulo de 30 ° com a vertical, qual é:

(a) a rapidez da bola

(b) a energia potencial gravitacional (relativa a seu valor no ponto mais baixo)

(c) a tensão no fio?

(d) Qual o ângulo do fio com a vertical quando a bola atinge sua altura máxima?

Passo 1

Vamos analisar a situação expressa no problema através de uma imagem

Para a resolução desse exercício, chamaremos de instante inicial ( 1 ) , o momento em que a bola passa pelo seu ponto mais baixo, recebendo um impulso horizontal; ( 2 ) , o momento em que bola faz um ângulo de 30 ° com a vertical e de 3 , o momento em que ela atinge sua altura máxima.

Ahh! Antes que me esqueça! Vamos adotar o ponto mais baixo da trajetória como origem do nosso referencial gravitacional, U = 0 , e também considerar a ausência do forças externas em nosso sisteminha!

Vamos aos cálculos!

Passo 2

a) Vamos aplicar a conservação de energia mecânica para o sistema nos instantes ( 1 ) e ( 2 ) , onde K é a notação de energia cinética, U é a notação de energia potencial e W e x t é o trabalho da força externa. Então, chegamos a:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Mas como W e x t = 0 , uma vez que não existem forças externas atuando temos que:

∆ U + ∆ K = 0

Só que ∆ U e ∆ K , nada mais são do que a diferença entre as energias final   ( U 2   e K 2 ) e inicial ( U 1   e K 1 ). Com isso, obtemos que:

( U 2 -   U 1 + K 2 - K 1 ) = 0

Agora, vamos analisar com calma o nosso problema. Considerando que o que queremos inicialmente é o valor da velocidade quando o fio faz um ângulo de 30 °   com a vertical, sabemos que apenas energia cinética, graças a velocidade inicial, v 1 , esta presente no começo. Já no segundo caso, a bola encontra-se a uma altura h do nosso referencial, supostamente com uma velocidade v 2 . Logo,   U 1 = 0 , de maneira que obtemos que:

U 2 = K 1 - K 2

Agora, vamos aplicar as fórmulas relativas a cada energia e conseguimos que:

m g h = m v 1 2 2 - m v 2 2 2  

Mas h = L - L cos ⁡ 30 ° :

v 2 2 = v 1 2 - 2 g L 1 - cos ⁡ 30 °

v 2 = v 1 2 - 2 g L 1 - cos ⁡ 30 °

Substituindo os valores numéricos correspondentes, obtemos o valor pretendido do ângulo:

v 2 = ( 4,5   m / s ) ² - 2 ( 9,81   m / s ² ) ( 3,0   m ) 1 - cos ⁡ 30 °

v 2 ≅ 3,5   m / s

Passo 3

b) Bom! Esse é o mais simples de todos, porque já fizemos questão de obter a fórmula da energia potencial nesse instante, e ela é dado por:

U 2 = m g L ( 1 - cos ⁡ 30 ° )

U 2 = ( 2,0   K g ) ( 9,81   m / s ² ) ( 3,0   m ) ( 1 - cos ⁡ 30 ° )

U 2 ≅ 7,9   J

Passo 4

c) Para encontra a tensão agora é preciso ficar atento as forças que agem no nosso problema. Aplicando o somatório das forças na direção radial, temos:

∑ F r a d i a l = m a r a d i a l

Temos, então da figura, como o bola está sendo girado com o uso de um fio, que há uma tensão agindo sobre ela, igual a T . Temos que lembrar também que estamos trabalhando na direção radial, logo, apenas uma componente da força peso age nessa direção:

T - m g cos ⁡ θ = m a r a d i a l

Só que esse a r a d i a l é a velha e conhecida aceleração centrípeta:

T - m g cos ⁡ θ = m v 2 2 R

T =   m g cos ⁡ θ + v 2 2 l

Obtemos o valor de v 2 lá na letra, e o ângulo θ , já temos. Agora é só ir pro abraço!

T = ( 2,0   K g ) ( 9,81   m / s ² ) ( cos ⁡ 30 ° ) + ( 3,9   m / s ) ² ( 3,0   m )

T ≅ 25,0   N

Passo 5

d) Bom essa pergunta que faz a letra d, já estamos até cansados de resolver. Todos sabemos que o único de energia disponível na altura máxima H de um pêndulo é a energia potencial gravitacional, que para esse caso chamaremos de U 3 . Logo basta igualar à energia cinética lá em 1 , que encontraremos o que desejamos:

U 3 = K 1

m g H = m v 1 2 2

Só que H =   L - L cos ⁡ θ

2 g L ( 1 - cos ⁡ θ ) = v 1 2

cos ⁡ θ = 1 - v 1 2 2 g L

θ = cos - 1 ⁡ 1 - v 1 2 2 g L

Façamos as substituições numéricas:

θ = cos - 1 ⁡ 1 - ( 4,5   m / s ) ² 2 ( 9,81   m / s ) ( 3,0   m )

θ ≅ 49 °

Resposta

a) ≅ 3,5   m / s  

b)   ≅ 7,9   J  

c) ≅ 25,0   N

d) ≅ 49 °

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