Enunciado

Duas ondas transversais de mesma frequência v = 100   s - 1 são produzidas num fio de aço de 1   m m de diâmetro e densidade 8   g / c m 3 , submetido a uma tensão T = 500   N . As ondas são dadas por

y 1 = A cos ⁡ k x - ω t + π 6           ,           y 2 = 2 A sen ⁡ ω t - k x

Onde A = 2   m m . (a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resultante. (c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante?

Passo 1

(a) Vamos começar reescrevendo a função da segunda onda para facilitar a nossa conta:

y 2 = 2 A sen ⁡ ω t - k x = - 2 A sen ⁡ ( k x - ω t )

E usando o fato de que cos ⁡ ( x + π / 2 ) = - sen ⁡ x :

y 2 = 2 A cos ⁡ k x - ω t + π 2

E então temos:

y 1 = A cos ⁡ k x - ω t + π 6 y 2 = 2 A cos ⁡ k x - ω t + π 2

Passo 2

A fórmula para a amplitude da onda resultante é a seguinte:

A r 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ Δ ϕ

Onde A 1 = A e A 2 = 2 A são as amplitudes das duas ondas e Δ ϕ é a diferença de fase entre as ondas.

A r 2 = A 2 + 4 A 2 + 2 A 2 A cos ⁡ π 2 - π 6

A r = A 1 + 4 + 4 cos ⁡ π 3

A r = A 7 = 2.10 - 3 7 ≅ 5,29   m m

Passo 3

E para calcular a fase ϕ r da onda resultante precisamos lembrar da fórmula:

ϕ = ϕ 1 + β

Onde ϕ 1 é a fase da onda y 1 e β é a diferença de fase da primeira onda e da onda resultante.

sen ⁡ β = A 2 A sen ⁡ ϕ 2 - ϕ 1

Substituindo os valores numéricos:

sen ⁡ β = 2 2 5,29 sen ⁡ π 2 - π 6 = 0,655

β = 0,714   r a d

E então:

ϕ = π 6 + 0,714 = 1,24   r a d

Com isso a nossa onda resultante fica com a seguinte expressão:

y r x , t = 5,29.10 - 3 cos ⁡ k x - ω t + 1,24

Passo 4

Falta calcular os valores de ω e k . Para a frequência angular ω temos:

ω = 2 π f = 2 π 100 ≅ 628   H z

E para o número de onda k :

k = ω v = ω T / μ = 628 500 / μ

A densidade linear da corda é

μ = ρ A = ρ   π d 2 2

Como a corda tem 0,1   c m de diâmetro:

μ = 8 g c m 3 π 0,1 2 4   c m 2 = 0,0628 g c m = 6,28.10 - 3   k g m

Então:

k = 628 500 / 6,28.10 - 3 = 628 282,1 = 2,23   m - 1

E a expressão final da nossa onda resultante é:

y r x , t = 5,29.10 - 3 cos ⁡ 2,23   x - 628 t + 1,24

Passo 5

(b) Para calcular a intensidade da onda resultante vamos usar a seguinte fórmula:

I = 1 2 μ v ω 2 A 2

E substituindo os valores numéricos que nós já calculamos, ficamos com:

I = 1 2 6,28.10 - 3 282,1 628 2 5,29.10 - 3 2

I = 9,8   W

Uma observação importante: a velocidade v foi calculado “no meio” da conta para o k :

v = 500 6,28.10 - 3 = 282,1   m / s

Passo 6

(c) A fórmula para a intensidade resultante de duas ondas combinadas é:

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ⁡ Δ ϕ

A intensidade da primeira onda é:

I 1 = 1 2 μ v ω 2 A 2

E a da segunda é:

I 2 = 1 2 μ v ω 2 2 A 2 = 4 I 1

Então, substituindo na primeira fórmula, ficamos com:

I = I 1 + 4 I 1 + 2 I 1 4 I 1 cos ⁡ Δ ϕ

I = 5 I 1 + 4 I 1 cos ⁡ Δ ϕ

Passo 7

O enunciado pediu para determinarmos a razão r entre as intensidades máxima e mínima.

A intensidade máxima acontece quando Δ ϕ = 0 :

I m á x = 5 I 1 + 4 I 1 cos ⁡ 0

I m á x = 9 I 1

A intensidade mínima acontece quando Δ ϕ = π :

I m í n = 5 I 1 + 4 I 1 cos ⁡ π

I m í n = I 1

Então a razão é:

r = I m á x I m í n = 9 I 1 I 1 = 9

Resposta

(a) y r x , t = 5,29.10 - 3 cos ⁡ 2,23   x - 628 t + 1,24 .

(b) I = 9,8   W .

(c) A razão é I m á x / I m í n = 9 .

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