Enunciado

Uma pequena espira circular de raio a percorrida por uma corrente I desliza com velocidade v constante ao longo do eixo de outra espira de raio b ≫ a e resistência R , aproximando-se dela, com os planos das duas espirar paralelos. Calcule a corrente induzida na espira de raio b para uma distância z ≫ a entre os centros das duas espiras. Qual é o sentido relativo das correntes nas duas espiras?

Passo 1

Vamos primeiro tomar visualmente o que foi nos apresentado

Ou seja, temos duas espiras, na qual a menor, de raio a , desce com uma velocidade v .

O enunciado nos da que a espira de raio a tem uma corrente igual a I . Sabemos que quando uma corrente percorre um fio, ela gera na direção radial, um campo magnético B .

Em uma espira temos que o campo magnético gerado a uma distância z do centro da espira é dado por

B z = μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2

Não acredita? Nos provamos https://bit.ly/3bTJHyd . Responde ai não mente hahaha...

Passo 2

Então sabemos do passo 1 que o campo que a espira de raio a gera é de

B a z = μ 0 I a 2 2 a 2 + z 2 3 / 2

A primeira condição de contorno é que z ≫ a , assim temos que

a 2 + z 2 ≈ z 2

Implicando que teremos que nosso campo será nesta condição

B a z = μ 0 I a 2 2 z 3

Passo 3

Quando a espira b vê a espira a se aproximando, ela sente o campo magnético gerado pela espira a . Quanto mais a espira a se aproxima, temos que o fluxo em b varia. Dizemos que a corrente induzida em b é dada por

I i n d = ℇ i n d R

Na qual a força eletromotriz induzida é dada por

ℇ i n d = - d ϕ d t

Fluxo esse que é gerado pela espira a . O fluxo é dado por

ϕ = ∫ B a ⋅ d A b = B a ⋅ A b

Ou seja, o fluxo que passa pela área da espira b é gerado pela espira a como dissemos e estamos reforçando vezes a área da espira b .

Assim temos então que

ϕ = μ 0 I a 2 2 z 3 ⋅ π b 2 = π μ 0 I a 2 b 2 2 z 3

Assim teremos que a variação do fluxo com o tempo será

d ϕ d t =   π μ 0 I a 2 b 2 2 d d t 1 z 3 = π μ 0 I a 2 b 2 2 z 3   - 3 z 4 d z d t = - 3 π μ 0 I a 2 b 2 v 2 z 4

Ou seja

I i n d = - 1 R ℇ i n d = 3 2 μ 0 π a 2 b 2 v I z 4

Pela lei de Lenz, temos que o sentido da corrente é oposta a da espira que gera o campo indutor.

Resposta

I i n d = 3 2 μ 0 π a 2 b 2 v I z 4

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