Enunciado

Um pequeno bloco de massa 0,250   k g está amarrado por um fio que passa por um orifício em uma superfície horizontal (veja a Figura 10.48). O bloco está inicialmente em um círculo com raio igual a   0,800   m em torno do orifício com velocidade tangencial igual a 4,0   m / s . O fio a seguir é puxado por baixo lentamente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de ruptura do fio é igual a 30,0   N . Qual é o raio do círculo quando o fio se rompe?

Passo 1

Oi, galerinha. Tudo bom? Bom... o enunciado nos diz que um pequeno bloco de massa 0,250   k g está amarrado por um fio que passa por um orifício em uma superfície horizontal.

O bloco está inicialmente em um círculo com raio igual a   0,800   m em torno do orifício com velocidade tangencial igual a 4,0   m / s .

O fio a seguir é puxado por baixo lentamente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de ruptura do fio é igual a 30,0   N .

Queremos calcular o raio do círculo quando o fio se rompe.

Bom... vamos interpretar isso de outra forma...

Passo 2

Vamos interpretar o enunciado por outro ponto de vista: nós temos um bloco girando em cima de uma superfície, seu percurso é uma circunferência de raio 0,800   m e a velocidade é 4,0   m / s . Conforme a gente puxa o fio conectado ao bloco, ele vai continuar girando, porém o raio do percurso será menor. E como resolvermos isso?

Fazendo a análise do problema em questão, temos que o momento angular será conservado, uma vez que a tensão na corda está na direção radial e, portanto, não produz torque.

Para isso, vamos aplicar ∑ F = m a para o bloco, sendo que a aceleração é dada por:

a r a d = v 2 r

Onde F é a força, m é a massa, a é a aceleração, v é a velocidade e r é o raio.

Sabendo que o bloco tem um furo, logo, o momento angular é   L   =   m v r .

Para encontrarmos os resultados, utilizaremos a fórmula da tensão.

Passo 3

A tensão T está relacionada à massa e velocidade do bloco, e ao raio do círculo, por:

T = m v 2 r

Agora só teremos o trabalho de substituir :D.

T = m 1 r v 2

Vamos fazer uma relação para obter L na expressão,

T = m 2 v 2 r 2 m r 3

T = ( m v r ) 2 m r 3

T = ( L ) 2 m r 3

Assim, o raio é

r 3 = ( L ) 2 m T = m v r 2 m T

Substituindo os valores,

r 3 = ( ( 0,25   k g )   × ( 4   m / s ) × ( 0,8   m ) ) 2 ( 30   N ) ( 0,25   k g )

r = 0,44   m

Resposta

Resposta: r = 0,44   m .

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