Enunciado

A posição de uma massa de 50   g , em oscilação, é determinada pela relação x t =   ( 2,0   c m )   c o s ( 10 t - π / 4 ) , onde t está em s . Determine:

a. A amplitude.

b. O período.

c. A constante elástica.

d. A constante de fase.

e. As condições iniciais.

f. O valor máximo da velocidade.

g. A energia total.

h. A velocidade em t =   0,40   s .

Passo 1

Exercício no mesmo esquema da questão anterior para ter certeza que você aprendeu direitinho a matéria.

A equação da posição é dada por:

x = A   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Então como o enunciado fala que a posição tem equação de:

x t =   ( 2,0   c m )   c o s ( 10 t - π / 4 )

Então podemos matar que:

A = 2   c m

ω = 10 r a d s

ϕ = - π 4   r a d

Isso já responde as letras a e d .

Passo 2

Agora encontrando o período desse sistema massa-mola nós devemos aplicar:

T = 2 π m k

Onde k = ω 2 m = 10 2 ⋅ 50 × 10 - 3 = 5   N / m , então o período será de:

T = 2 π 50 × 10 - 3 5 = 0.63   s

Já respondemos de uma vez as letras b e c .

Passo 3

Agora para responder a leta e , entenda condições iniciais como posição inicial e velocidade inicial, ou seja a posição e a velocidade para t = 0 .

Aplicando t = 0 na equação da posição dada pelo enunciado nós teremos:

x 0 =   2,0   c m c o s 10 ⋅ 0 - π 4 = 1.41   c m

E a equação da velocidade será na forma de:

v t = - A ω   s e n ( ω t + ϕ )

Então para t = 0

v 0 = - 2 c m ⋅ 10   s e n - π 4 = 14.142   c m / s

Onde o valor máximo da velocidade será de:

v m a x = A ω = 2 ⋅ 10 = 20   c m / s

Passo 4

Podemos calcular a energia total do sistema de duas formas:

E t o t a l = 1 2 k A 2 = 1 2 m v m a x 2

Utilizando a velocidade máxima nós teremos:

E t o t a l = 1 2 ⋅ 50 × 10 - 3 ⋅ 20 × 10 - 2 2 = 10 - 3   J

Passo 5

E respondendo a letra h vemos que a equação da velocidade tem uma forma de:

v t = - A ω   s e n ( ω t + ϕ )

Portanto:

v t = - 20   s e n 10 t - π 4   c m s

Então para t = 0.4   s teremos:

v 0.4 = - 20   s e n 10 ⋅ 0.4 - π 4 = 1.46   c m / s

Resposta

a )   2   c m

b )   0.63   s

c )   5   N / m

d ) - π 4   r a d / s

e ) x 0 = 1.41   c m ; v 0 = 14.142   c m / s  

f )   20   c m / s

g )   10 - 3   J

h )   1.46   c m / s

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