Enunciado

99. Desenvolva a equação do movimento para o pêndulo , que consiste na haste esbelta uniforme de massa m e na esfera de massa M . Assuma pequenas oscilações e despreze o raio da esfera.

Passo 1

Bom, primeiro, a gente tem que calcular o momento de inércia I 0 do sistema. Ela se consiste na soma da momento de inércia da haste e do momento de inércia da esfera.

I 0 = 1 3 m l 2 + M l 2

I 0 = M + m 3 l 2

Passo 2

Agora, vamos montar a relação de energia. Consideraremos que não há perda de energia, então:

E T = E c i n + E p o t

Para a E c i n temos:

E c i n = 1 2 I 0 ω 2 = 1 2 I 0 θ ˙ 2

Agora, para a E p o t , temos a E p o t da haste e a da esfera.

De forma que a E p o t da esfera é dada por:

E p o t = M g l ( 1 - cos ⁡ θ )

E como obtemos esse valor acima? Bom, primeiro a gente define como potencial zero o ponto mais baixo, ou seja, quando o ângulo θ vale zero. Depois disso, a gente calcula a energia potencial da esfera em relação ao ponto O quando o ângulo θ vale zero e quando ele é diferente de zero. E em seguida, fazemos a diferença entre elas.

E por último a E p o t da haste é dada por:

E p o t = m g l 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Para a haste fizemos o mesmo procedimento que a esfera.

Fazendo a soma de todas as energias, temos a energia total E T

E T = 1 2 I θ ˙ 2 + m g l 2 1 - cos ⁡ θ + M g l ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora que temos a energia total E T , vamos derivar a equação em relação ao tempo e considerar θ como sendo um ângulo bem pequeno ( ∴ s e n ( θ ) ≅ θ ).

d d t 1 2 I 0 θ ˙ 2 = 1 2 I 0 2 θ ˙ θ ¨ = 1 2 M + m 3 l 2 2 θ ˙ θ ¨

d d t   m g l 2 1 - cos ⁡ θ = - - s e n θ θ ˙ m g l 2 = θ θ ˙ m g l 2

d d t M g l 1 - cos ⁡ θ = = - - s e n θ θ ˙ M g l = θ θ ˙ M g l

d d t ( E T ) = 0   ( C o n s t a n t e )

1 2 3 M + m 3 l 2 2 θ ˙ θ ¨ + θ θ ˙ m g l 2 + θ θ ˙ M g l = 0

Simplificando a expressão acima:

3 M + m 3 θ ¨ + θ m g 2 1 l + θ M g 1 l = 0

θ ¨ + 3 3 M + m θ m g 2 1 l + 3 3 M + m θ M g 1 l = 0

θ ¨ + 3 2 g l 2 M + m 3 M + m ⋅ θ = 0

Resposta

A equação de movimento para o pêndulo será:

θ ¨ + 3 g θ 2 l 2 M + m 3 M + m = 0

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