Enunciado

A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x = c t 2 - b t 3 , onde x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades (a) da constante c e (b) da constante b ? Suponha que os valores numéricos de c e b são 3,0 e 2,0 , respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x ? De t = 0,0   s a t = 4,0   s , (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e) qual é o deslocamento? Determine a velocidade da partícula nos instantes (f) t = 1,0   s , (g) t = 2,0   s , (h) t = 3,0   s e (i) t = 4,0   s . Determine a aceleração da partícula nos instantes U) t = 1,0   s , (k)   t = 2,0   s , (1) t = 3,0   s e (m) t = 4,0   s .

Passo 1

Pessoal, vamos ter que fazer um estudo da unidade. Basicamente é o seguinte: Se x está em metros, o que está do outro lado do sinal de igual também deve estar em metro, ok?

x =   c t 2 - b t 3

m = c . s 2 - b . [ s ] 3

Cada parcela deve estar em metros, então vamos igualar cada uma dessas parcelas a unidade metros.

m = c . s 2 → c = m s 2

m = b . [ s ] 3 → b = m s 3  

Passo 2

x atinge seu maior valor quando v = 0 , vamor derivar x para encontrar v e igualar a zero.

x =   3,0 t 2 - 2,0 t 3

v = d x d t = 6,0 t - 6,0 t 2 = 6,0 t ( 1 , 0 - t )

v = 0

6,0 t 1 - t = 0 → t = 0 , 0 s     o u   t = 1,0   s

Agora vamos substituir esses valores de t na função posição:

x 0,0 =   3,0 0,0 2 - 2,0 0,0 3                     x 1,0 =   3,0 1,0 2 - 2,0 1,0 3

x 0,0 = 0,0   m         x 1,0 = 1,0   m

Logo, a é no instante t = 1,0   s que a partícula passa por seu maior valor de x .

Passo 3

Para descobrir a distância percorrida vamos usar integral. A distância percorrida será igual a área entre v ( t ) e o eixo x dentrodo intervalo de tempo desejado.

Entre 0,0   s e 1,0   s , a velocidade é positiva e, por isso, o deslocamento D 1 entre o gráfico de v ( t ) e o eixo t vai ser igual a integral de v ( t ) nesse intervalo.

D 1 = ∫ 0 1 v t d t = x t 0 1 = x 1 - x 0 = 1 - 0 = 1   m

Entre 1,0   s e 4,0   s , a velocidade é negativa e, por isso, o deslocamento D 2 vai ser MENOS o valor da integral de v t nesse intervalo.

D 2 = - ∫ 1 4 v t d t = - x t 1 4 = - x 4 - x 1 = - ( - 80 - 1 ) = 81   m

Então a partícula percorre uma distância: D = D 1 + D 2 = 1   m + 81   m = 82   m

Passo 4

O deslocamento é o Δ x entre 0,0   s e 4,0   s .

Δ x = x 4,0 - x 0,0 = - 80 m - 0,0 m = - 80   m

Passo 5

Para descobrir a velocidade em cada instante de tempo é só substituir o valor de t em v ( t ) .

v t = 6,0 t - 6,0 t 2

v 1,0 = 6,0 1,0 - 6,0 1,0 2 = 0,0   m / s

v 2 , 0 = 6,0 2 , 0 - 6,0 2 , 0 2 = - 12   m / s

v 3 , 0 = 6,0 3 , 0 - 6,0 3 , 0 2 = - 36   m / s

v 4 , 0 = 6,0 4 , 0 - 6,0 4 , 0 2 = - 72   m / s

Passo 6

A aceleração é a derivada da velocidade, então se v t = 6,0 t - 6,0 t 2 → a t = 6,0 - 12 t .

a 1,0 = 6,0 - 12 . 1,0 = - 6,0   m / s 2

a 2 , 0 = 6,0 - 12 . 2 , 0 = - 18   m / s 2  

a 3 , 0 = 6,0 - 12 . 3 , 0 = - 30   m / s 2

a 4 , 0 = 6,0 - 12 . 4 , 0 = - 42   m / s 2

Resposta

a) m / s 2

b) m / s 3

c) 1,0   s

d) 82   m

e) - 80   m

f) 0,0   m / s

g) - 12   m / s

h) - 36   m / s

i) - 72   m / s

j) - 6 , 0   m / s 2

k) - 18   m / s 2

l) - 30   m / s 2

m) - 42   m / s 2

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