Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Se prendermos dois blocos, de massas m 1 e m 2 , a cada uma das extremidades de um mola de constante de força k , e o fizermos oscilar largando-os do repouso após distender a mola, mostre que a frequência de oscilação é dada por ω = k / μ 1 / 2 , onde μ = m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) é a massa reduzida do sistema.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Ele quer a frequência de oscilação ω para um tipo diferentão de oscilação. Mas fica tranquilo, que tem um passo a passo para esse tipo de questão, tá? Fica firme e bora!

Vou te dar um bizu: quando ele pede isso, a primeira coisa é o diagrama de corpo livre da situação. Nosso diagrama vai ficar assim:

Repara que a força elástica sobre os blocos é a mesma e com sentidos opostos para que a mola permaneça em equilíbrio (somatório de forças sobre a mola seja zero), mas que os blocos estão em diferentes posições x 1 e x 2 .

Essa força é dada por

F e l = k x

Vamos supor que a mola pode se encurtar muito, o bastante para que um bloco encoste no outro, assim essa distensão x para cada bloco vai ser igual a diferença de posição entre eles

x = x 2 - x 1

Passo 2

O próximo passo para esse tipo de questão é usar a segunda lei de Newton e escrever a aceleração que aparece nela como a segunda derivada da posição em relação ao tempo

a = d 2 x d t 2

Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco da esquerda

∑ F → = m a →

k x = m 1 a 1 = m 1 d 2 x 1 d t 2

k x 1 - x 2 = m 1 a 1 = m 1 d 2 x 1 d t 2

a 1 = d 2 x 1 d t 2 = k m 1 x 1 - x 2

Aplicando também no segundo bloco, temos:

∑ F → = m a →

- k x = m 2 a 2 = m 2 d 2 x 2 d t 2

- k x 1 - x 2 = m 2 a 2 = m 2 d 2 x 2 d t 2

a 2 = d 2 x 2 d t 2 = k m 2 x 2 - x 1

Aparece esse sinal de menos ali porque a força sobre o segundo bloco aponta para o lado oposto de x .

Passo 3

Agora queremos obter uma equação diferencial que rege esse movimento.

Temos duas equações diferenciais, porque estamos relacionando x com sua derivada.

d 2 x 1 d t 2 = k m 1 x 1 - x 2   i

d 2 x 2 d t 2 = k m 2 x 2 - x 1   i i

Vamos transforma-las em uma equação só fazendo uma menos a outra:

i i - i

d 2 x 2 d t 2 - d 2 x 1 d t 2 = k m 1 x 2 - x 1 - k m 2 x 1 - x 2

d 2 ( x 2 - x 1 ) d t 2 = k 1 m 1 + 1 m 2 ( x 2 - x 1 )

Mas lembra que x = x 2 - x 1 , então:

d 2 x d t 2 = k 1 m 1 + 1 m 2 x

Passo 4

Quase chegando lá. A massa reduzida μ tem essa fórmulinha:

1 μ = 1 m 1 + 1 m 2

Que pode até ser escrita como o enunciado diz se a gente rearrumar

μ = m 1 m 2 m 1 + m 2

Acontece que a primeira forma aparece na nossa equação, então vamos substituir:

d 2 x d t 2 = k 1 m 1 + 1 m 2 x

d 2 x d t 2 = k 1 μ x

d 2 x d t 2 = k μ x

Passo 5

Agora é o nosso último passo desse tipo de questão. A gente vai comparar essa equação diferencial que temos com a equação do oscilador harmônico.

Sabemos que a equação diferencial de um oscilador harmônico simples é dada por:

d 2 x d t 2 = k m x

A solução desta equação é:

x = x 0 cos ⁡ ω t + δ

Onde:

ω = k m

Comparando as equações diferenciais

d 2 x d t 2 = k μ x

d 2 x d t 2 = k m x

Vemos que a nossa vai ter uma solução similar porque as equações tem o mesmo formato, mas com m = μ . Então para o nosso oscilador, temos que

x = x 0 cos ⁡ ω t + δ

Onde:

ω = k μ

E:

μ = m 1 m 2 m 1 + m 2

Resposta

Demonstração nos passos

Exercícios de Livros Relacionados

Duas partíclas de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sob
Uma partícula de massa m está ligada por uma mola de constante elástic
Duas partículas 1 e 2 de mesma massa m estão presas por molas de const
Um modelo clássico para a molécula de C O 2 é constituído por duas par
Na Fig. 15-49, três vagonetes de minério de 10.000 k g são mantidos em