Enunciado

Duas partíclas de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal, pesas por molas de constante elástica k a paredes verticais e ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica K . Inicialmente, com as partículas em repouso na posição de equilíbrio, comunica-se uma velocidade v à particula 2 através de um impulso. Ache os deslocamentos x 1 t e x 2 t das duas partículas das respectivas posições de equilíbrio, para t > 0 .

Passo 1

Vamos montar uma EDO para cada um dos corpos 1 e 2 .

Para o primeiro corpo:

m x ¨ 1 = - k x 1 + K x 2 - x 1

E o termo x 2 - x 1 aparece no segundo termo porque a “contração” da mola não depende só de x 1 , e sim da aproximação ou afastamento dos dois pontos.

E para o segundo corpo:

m x ¨ 2 = - k x 2 - K x 2 - x 1

Então ficamos com um sistema de duas EDOs:

m x ¨ 1 = - k x 1 + K x 2 - x 1 m x ¨ 2 = - k x 2 - K x 2 - x 1

E definindo ω 1 2 = k / m :

x ¨ 1 + ω 1 2 x 1 - K m x 2 - x 1 = 0 x ¨ 2 + ω 1 2 x 2 + K m x 2 - x 1 = 0

Passo 2

Agora vamos somar as duas equações:

x ¨ 1 + ω 1 2 x 1 - K m x 2 - x 1 + x ¨ 2 + ω 1 2 x 2 + K m x 2 - x 1 = 0

x ¨ 1 + x ¨ 2 + ω 1 2 x 1 + x 2 = 0

E aqui é comum definir uma variável:

q 1 = x 1 + x 2 2

q ¨ 1 + ω 1 2 q 1 = 0

E fazendo a diferença das duas EDOs do sistema (a segunda menos a primeira):

x ¨ 2 + ω 1 2 x 2 + K m x 2 - x 1 - x ¨ 1 - ω 1 2 x 1 + K m x 2 - x 1

x ¨ 2 - x ¨ 1 + ω 1 2 x 2 - x 1 + 2 K m x 2 - x 1 = 0

E mais uma vez vamos definir uma variável:

q 2 = x 2 - x 1 2

q ¨ 2 + ω 1 2 q 2 + 2 K m q 2 = 0

q ¨ 2 + ω 1 2 + 2 K m q 2 = 0

Vamos chamar esse último termo entre parênteses de ω 2 2 . Então ficamos com duas equações:

q ¨ 1 + ω 1 2 q 1 = 0 q ¨ 2 + ω 2 2 q 2 = 0

E as duas soluções são:

q 1 t = A 1 cos ⁡ ω 1 t + ϕ 1 q 2 t = A 2 cos ⁡ ω 2 t + ϕ 2

Passo 3

Agora vamos voltar para as coordenadas x 1 t e x 2 t :

x 1 = q 1 - q 2 x 2 = q 2 + q 1

x 1 = A 1 cos ⁡ ω 1 t + ϕ 1 - A 2 cos ⁡ ω 2 t + ϕ 2 x 2 = A 2 cos ⁡ ω 2 t + ϕ 2 + A 1 cos ⁡ ω 1 t + ϕ 1

E aplicando a condição inicial x 1 0 = x 2 0 = 0 :

x 1 0 = A 1 cos ⁡ ϕ 1 - A 2 cos ⁡ ϕ 2 = 0 x 2 0 = A 2 cos ⁡ ϕ 2 + A 1 cos ⁡ ϕ 1 = 0

E podemos usar a solução ϕ 1 = ϕ 2 = - π / 2 . Lembrando que cos ⁡ x - π 2 = sen ⁡ x :

x 1 = A 1 sen ⁡ ω 1 t - A 2 sen ⁡ ω 2 t x 2 = A 2 sen ⁡ ω 2 t + A 1 sen ⁡ ω 1 t

E agora vamos aplicar x ˙ 1 0 = 0 e x ˙ 2 0 = v :

x ˙ 1 0 = A 1 ω 1 - A 2 ω 2 = 0 x ˙ 2 0 = A 2 ω 2 + A 1 ω 1 = v

E somando as duas equações encontramos:

A 1 = v 2 ω 1

A 2 = v 2 ω 2

E então:

x 1 t = v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t - v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t x 2 t = v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t + v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t

Onde ω 1 2 = k m e ω 2 2 = ω 1 2 + 2 K m .

Resposta

Os deslocamentos são x 1 t = v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t - v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t e x 2 t = v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t + v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t , com ω 1 2 = k m e ω 2 2 = ω 1 2 + 2 K m .

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