Enunciado

Quatro partículas, uma em cada um dos cantos de um quadrado de 2,0 m de lado, estão ligadas por barras sem massa (figura 9-45). As massas das partículas são m 1 = m 3 = 3,0 k g e m 2 = m 4 = 4,0 k g . Determine o momento de inércia do sistema em relação ao eixo z .

Passo 1

Oláaaa, queridão! Cê tá bem? Torcendo para que sim!

Então, o momento de inércia de uma partícula em relação ao um eixo é dado por

I p a r t i c u l a = m r 2

Onde m é a massa da partícula e r é a distância da partícula até o eixo em questão. No caso, o nosso eixo z .

Maas, queremos o momento de inércia do sistema todo. Como faz?

Bem, o momento de inércia de um sistema de partículas é igual à soma do momento de inércia de cada uma das partículas, ou seja:

I = ∑ m i r i 2

Então o que a gente vai fazer é calcular o momento de inércia de cada partícula em relação a z , e depois somar tudo. Bora lá!

Passo 2

Então, para a partícula 1 , o momento vai ser

I 1 = m 1 r 1 2

Sendo que m 1 = 3   k g e a distância da partícula ao eixo z é r 1 = 2   m .

Para a partícula 2:

I 2 = m 2 r 2 2

Temos m 2 = 4   k g . Mas repara que a partícula 2 está sobre o eixo z . Então a distância dela até esse eixo é zero, r 2 = 0 .

Para a partícula 3:

I 3 = m 3 r 3 2

Sendo que m 3 = 3   k g e a distância da partícula ao eixo z é r 3 = 2   m .

E para a acabar, temos a partícula 4 :

I 4 = m 4 r 4 2

Sendo que m 4 = 4   k g . E repara que r 4 vai ser a dimensão da diagonal desse quadrado de lado 2   m . A diagonal do quadrado vale sempre 2 vezes o lado do quadrado. Então vamos ter r 4 = 2 × 2   m

Passo 3

Agora é somar essa galera toda:

I z = ∑ m i r i 2

I z = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

I z = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + m 3 r 3 2 + m 4 r 4 2

Substituindo os valores:

I z = 3 × 2 2 + 4 × 0 2 + 3 × 2 2 + 4 × 2 2 2

I z = 56   k g ⋅ m 2

Obs: estamos diferentes do gabarito, mas estamos certinhos, tá?

Resposta

I z = 56   k g ⋅ m 2

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