Enunciado

Com referência ao capacitor visto na Figura 18.22, calcule:

a) o deslocamento elétrico nos dois dielétricos;

b) a polarização dos dois dielétricos;

c) as cargas elétricas nas metades 1 e 2 das placas.

Passo 1

Eai pessoal, beleza?

Esse exercício é uma continuação do problema 13 em que calculamos a capacitância do sistema. Agora queremos achar o deslocamento elétrico.

O legal do vetor deslocamento elétrico é que ele não depende do dielétrico colocado entre as placas, a gente o calcula como se não tivesse nada lá.

A lei de Gauss para o deslocamento elétrico é

∮ D → ⋅ d A → = q L

Por analogia com o caso do campo elétrico uniforme de um capacitor de placas paralelas, dado por E = σ / ϵ 0 , temos que

D = σ L = Q A

Vetorialmente podemos escrever

D → = - Q A   y ^

Aí você pode pensar, beleza, problema resolvido, certo? ERRADO! ERRADÍSSIMO! Essa questão é a maior pegadinha da vida!

O fato de a gente ter dielétricos diferentes em contato com as duas placas muda tudo: a distribuição de cargas não vai ser mais uniforme entre as placas dos capacitores, teremos uma carga Q 1 do lado do esquerdo e uma carga Q 2 do lado direito, de modo que

D → 1 = - Q 1 A 1   y ^                   e             D → 2 = - Q 2 A 2 y ^

Além disso, A 1 = A 2 = A / 2 , de modo que

D → 1 = - 2 Q 1 A   y ^               e           D → 2 = - 2 Q 2 A   y ^

Nosso objetivo vai ser encontrar Q 1 e Q 2 !

Passo 2

Para achar Q 1 e Q 2 eu recomendo você voltar ao problema 13 em que calculamos a capacitância do sistema pensando em dois capacitores associados em paralelo, com capacitâncias dadas por

C 1 = ϵ 0 κ 1 A 1 d = ϵ 0 κ 1 A 2 d               e             C 2 = ϵ 0 κ 2 A 2 d = ϵ 0 κ 2 A 2 d

Com isso, podemos relacionar as tensões em cada capacitor por

V 1 = Q 1 C 1             e           V 2 = Q 2 C 2

Mas como os capacitores estão em paralelo, temos que

V 1 = V 2

Daí segue que

Q 1 C 1 = Q 2 C 2 → Q 1 Q 2 = C 1 C 2 = κ 1 κ 2

Logo,

Q 1 = Q 2 κ 1 κ 2

Por outro lado, devemos ter

Q 1 + Q 2 = Q

Assim, substituindo a última equação:

Q 2 κ 1 κ 2 + Q 2 = Q → Q 2 = κ 2 Q κ 1 + κ 2

Analogamente,

Q 1 = κ 1 Q κ 1 + κ 2

Com isso podemos escrever as expressões para o vetor deslocamento elétrico:

D → = - 2 κ 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,             x < 0 - 2 κ 2 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,             x > 0

Note que x > 0 indica o dielétrico da direita e x < 0 o da esquerda! Observe que se os dielétricos fossem iguais teríamos

2 κ κ + κ = 1 ,

de modo que o vetor deslocamento elétrico seria simplesmente Q / A , como foi discutido no passo 1.

Eu sei que no começo da resolução eu disse que o deslocamento elétrico não depende do dielétrico, e ele realmente não depende. Ele depende apenas das cargas livres. O que acontece nesse problema é que as cargas livres vão depender de alguma forma dos dielétricos, e por isso que no final o deslocamento elétrico passa a depender deles também!

Passo 3

No item (b) queremos achar o vetor polarização. Para isso, recorremos a expressão:

D → = ϵ 0 E → + P →               e             P → = ϵ 0 κ - 1   E →

Assim,

ϵ 0 E → = P → κ - 1

Logo,

D → = P →   1 κ - 1 + 1 → D → = κ κ - 1 P →

Ou ainda,

P → = κ - 1 κ D →

Aqui temos que tomar um cuidado: do lado direito temos um dielétrico e do lado esquerdo temos outro, de modo que κ é diferente de cada lado e as expressões de D → são diferentes de cada lado. Para x < 0 temos que

P → = κ 1 - 1 κ 1 ⋅ - 2 κ 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ = - 2 κ 1 - 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^

Analogamente, fazemos a mesma conta para x > 0 e encontramos:

P → = - 2 κ 1 - 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,               x < 0 - 2 κ 2 - 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,               x > 0

Isso fecha o item (b).

Passo 4

Para terminar, queremos as cargas acumuladas nas placas. Repare que essa conta já foi feita no passo 2:

Q 1 = κ 1 Q κ 1 + κ 2

Q 2 = κ 2 Q κ 1 + κ 2

Problema resolvido 😉.

Resposta

D → = - 2 κ 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,             x < 0 - 2 κ 2 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,             x > 0

P → = - 2 κ 1 - 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,               x < 0 - 2 κ 2 - 1 Q κ 1 + κ 2 A   y ^ ,               x > 0

Q 1 = κ 1 Q κ 1 + κ 2

Q 2 = κ 2 Q κ 1 + κ 2

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