Enunciado

O refletor de canto, muito utilizado em sistemas óticos e de micro-ondas, é formado por três espelhos planos montados de modo a formarem o vértice de um cubo. Mostre que, após três reflexões, um raio incidente é refletido exatamente no sentido oposto.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vai ser tranquilo, vem comigo.

Montamos um sistema de coordenadas x y z onde os planos individuais ( x y , y z , x z ) servem como as superfícies do espelho. Suponha que um raio de luz incidente A primeiro atinja o espelho no plano xy. Se o vetor unitário denotando a direção de A é dado por:

cos ⁡ α i ^ + cos ⁡ β j ^ + cos ⁡ γ k ^

Onde α , β , γ são os ângulos que A faz com os eixos, então, após reflexão do plano xy, o vetor unitário se torna c o s ⁡ ( α ) i ^ + c o s ⁡ ( β ) j ^ - c o s ⁡ ( γ ) k ^ (uma maneira de racionalizar isso é pensar no reflexo fazendo com que o ângulo γ se tornar π - γ ) .

Depois, suponha que ele bate no espelho no plano x z . O vetor unitário do raio refletido é agora:

cos ⁡ α i ^ - cos ⁡ β j ^ - c o s ⁡ ( γ ) k ^

Passo 2

Finalmente, à medida que reflete no espelho no plano y z , α torna-se π - α , então o vetor unitário na direção do raio refletido é dado por:

- cos ⁡ α i ^ - cos ⁡ β j ^ - cos ⁡ γ k ^

Exatamente invertido da direção original de A.

Outra observação que pode ser feita é que este argumento iria falhar se o raio pudesse atingir qualquer superfície duas vezes.

Resposta

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