Enunciado

Uma região do espaço contém uma carga positiva Q que está distribuída uniformemente ao longo de uma esfera de tal modo que a densidade volumétrica de carga ρ r é dada por:

Nessas relações, α é uma constante positiva com unidades de C / m 3 . a Determine α   em função de Q e de R . b Aplicando a lei de Gauss, deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico E → em função da distância r . Faça esse cálculo separadamente para cada uma das três regiões. Expresse suas respostas em termos da carga total Q . Verifique cuidadosamente se seus resultados coincidem quanto às fronteiras entre as três regiões. c Que fração da carga total está contida no interior da região r ≤ R / 2 ? d Se um elétron com carga q ' = - e está oscilando em torno do ponto r = 0 (o centro da distribuição) com amplitude menor do que R / 2 , mostre que o movimento é harmônico simples. (Sugestão: Faça uma revisão da definição do movimento harmônico simples na Seção 13.2 . Se, e somente se, a força resultante sobre o elétron for proporcional ao seu deslocamento do equilíbrio, então o movimento resultante será harmônico simples.) e Qual é o período do movimento da parte d ? f Se a amplitude do movimento descrito na parte e é maior do que R / 2 , o movimento resultante é harmônico simples? Por quê?

Passo 1

Para iniciarmos esse exercício, precisamos lembrar que a carga elétrica pode ser definida em função da densidade volumétrica de carga e do volume da superfície em questão, ou seja:

Q = ρ V

Assim, a carga total na esfera é dada pela soma da carga em cada uma das regiões e é possível isolar α no resultado obtido.

Logo, para r ≤ R / 2 :

Q 1 = α 4 3 π r 3 = 4 3 π α R 2 3

Q 1 = α π R 3 6

Para R / 2 ≤ r ≤ R :

Q 2 = ∫ ρ d V = ∫ R 2 R 2 α 1 - r R 4 π r 2 d r

Ou seja:

Q 2 = 8 π α ∫ R 2 R r 2 - r 3 R d r = 8 π α r 3 3 - 1 R r 4 4 | R R / 2

Substituindo o intervalo de integração:

Q 2 = 8 π α R 3 3 - R 3 4 - R 3 24 - R 3 64 = 8 π α 11 192 R 3

Q 2 = 11 24 π α R 3

E, para r ≥ R :

Q 3 = ρ V = 0

Portanto, a carga total será dada por:

Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 = α π R 3 6 + 11 24 π α R 3 + 0

Q = 15 24 π α R 3 = 5 8 π α R 3

E:

α = 8 5 π R 3 Q

Passo 2

Agora, para cada região, vamos verificar a carga total que é envolvida de acordo com a distância r e determinar o campo elétrico da respectiva região a partir da lei de Gauss que é dada por:

Φ = E A = Q T ϵ 0

Logo, para r ≤ R / 2 , a carga total envolvida é Q 1 = ρ 1 V 1 . Então:

E 1 4 π r 2 = 1 ϵ 0 α 4 3 π r 3

∴ E 1 = 1 ϵ 0 8 5 π R 3 Q r 3 → E 1 = 1 ϵ 0 8 Q r 15 π R 3

Da mesma forma, a região R / 2 ≤ r ≤ R envolve as cargas Q 1 e Q 2 :

E 2 4 π r 2 = Q 1 + Q 2 ϵ 0 = α π R 3 6 ϵ 0 + 1 ϵ 0 8 π α ∫ R 2 r r 2 - r 3 R d r

Então:

E 2 4 π r 2 = α π R 3 6 ϵ 0 + 1 ϵ 0 8 π α r 3 3 - r 4 4 R - R 3 24 - R 3 64

E 2 4 π r 2 = α π R 3 6 ϵ 0 + 1 ϵ 0 8 π α r 3 3 - r 4 4 R - 5 R 3 192

Encontrando o MMC de todos os termos:

E 2 = α π R 3 192 ϵ 0 4 π r 2 32 + 512 r R 3 - 384 r R 4 - 40

E 2 = α π R 3 192 ϵ 0 4 π r 2 512 r R 3 - 384 r R 4 - 8

Nessa equação, simplificando todos os termos por 8 , obtemos:

E 2 = α π R 3 24 ϵ 0 4 π r 2 64 r R 3 - 48 r R 4 - 1

E, o resultado final para essa região pode ser dado por:

E 2 = 8 5 π R 3 Q k π R 3 24 r 2 64 r R 3 - 48 r R 4 - 1

Ou seja:

E 2 = k Q 15 r 2 64 r R 3 - 48 r R 4 - 1

Por último, para a região r ≥ R , a carga total envolveida é a soma das cargas nas três regiões. Então:

E 3 4 π r 2 = Q 1 + Q 2 + Q 3 ϵ 0 = 1 ϵ 0 α π R 3 6 + 11 24 π α R 3 + ρ 3 V 3

Mas como ρ 3 é zero, então só resta a soma dos outros dois termos:

E 3 = 1 ϵ 0 4 π r 2 15 24 α π R 3 = k r 2 15 24 π R 3 8 5 π R 3 Q

∴ E 3 = k Q r 2

Passo 3

Para calcularmos a quantidade da carga total Q que se encontra dentro da região r ≤ R / 2 , Q 1 , vamos aproveitar os resultados obtidos no Passo 1 , tal que essa quantidade é dada por:

Q 1 Q = 1 6 α π R 3 5 8 π α R 3 = 8 30 = 4 15

Que representa aproximadamente:

Q 1 = 26,7   %   d e   Q

Passo 4

Devemos lembrar, agora, que a força do movimento harmônico simples é diretamente proporcional a distância r percorrida na oscilação e é dada por:

F M H S = - k r

Assim, analisando a força gerada pelo campo elétrico da carga na região r ≤ R / 2 , temos:

F = q E 1 = - e 1 ϵ 0 8 Q r 15 π R 3 → F = - 8 e Q 15 π ϵ 0 R 3 r

Que possui a mesma forma da equação da força no MHS, onde:

k = 8 e Q 15 π ϵ 0 R 3

Logo, o movimento nessa região é harmônico simples.

Passo 5

Usando o resultado que encontramos no Passo anterior, precisamos lembrar que o período do MHS é dado por:

T = 2 π m k

Onde, nesse caso, m é a massa do elétron. Então:

T = 2 π m e 8 e Q 15 π ϵ 0 R 3 = 2 π 15 m e π ϵ 0 R 3 8 e Q

Passo 6

Para as regiões maiores que r ≤ R / 2 , temos que o campo elétrico não é mais diretamente proporcional ao deslocamento da oscilação r , o que faria com que a força gerada pelo campo não tivesse mais a forma

F = - k r

E o movimento não seja mais harmônico simples.

Resposta

a   8 5 π R 3 Q

b   r ≤ R 2 → 1 ϵ 0 8 Q r 15 π R 3

R 2 ≤ r ≤ R → k Q 15 r 2 64 r R 3 - 48 r R 4 - 1

r ≥ R → k Q r 2

c   4 15 = 0,267

e   2 π 15 m e π ϵ 0 R 3 8 e Q

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