Enunciado

Uma régua de um metro e massa igual a 0,160 kg possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal. A régua é mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada. Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule a) a variação da energia potencial gravitacional ocorrida; b) a velocidade angular da régua; c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta ao eixo. d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade de um objeto caindo de uma altura de 1,0 m a partir do repouso.

Passo 1

Analisando o problema, primeira coisa que devemos entender, que o movimento de um dado corpo, deve ser medido a partir de seu centro de massa (CM). Como nenhuma informação sugere que a densidade da régua vária com a posição, entendemos que o centro de massa se encontra na posição central da régua, ou seja, seu centro geométrico:

X c m = 0.5 m e t r o s

Passo 2

A Variação da Energia Potêncial U é dada pela seguinte relação:

Δ U = m g Δ h

onde m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade e Δ h é a variação da posição do centro de massa.

Δ U = U f – U i = m g y f - m g y i = m g y f - y i

Então

Δ U = 0.160 k g 9.8 m / s ² 0.5 m – 1.0 m = - 0.784 J

Passo 3

Para resolvermos o item b, devemos considerar o princípio da conservação de energia, ou seja

E i = E f

tal que

K i + U i = K f + U f + W o

Onde K é a energia cinética, U é a Energia Potência e W o o trabalho perdido.

Como o enunciado nos indica que não há atrito, W o = 0

Outra condição importante de se observar é que, como inicialmente a régua se encontra parada, K i = 0

Logo podemos resumir

K f = U i – U f = - Δ U

Como a régua está presa sobre uma de suas extremidades, a única energia cinética que teremos é a energia de rotação, ou seja

K f = I ω 2 2

Implicando que

ω = 2 - Δ U I

O momento de Inércia de uma barra, girando-a por uma de suas extremidades será de

I = M L 2 3

Implicando que

ω = 6 - Δ U M L 2 = 6 0.784 J 0.160 k g 1.00 m 2 = 5.42 r a d s

Passo 4

Como em um movimento circular a velocidade angular é a mesma para qualquer ponto, e sabendo que

v = r ω

para calcularmos a velocidade na extremidade, basta tomarmos r = 1 m e t r o

v = 1 m 5.42 r a d s = 5.42 m s

Passo 5

Para um corpo caindo de uma altura de um metro a partir do repouso, temos que, pela conservação de energia, a energia cinética inicial será nula, assim como a energia potencial final. Isso nos dá que,

K f = U i

m v 2 2 = m g Δ h

a velocidade final é dada pela seguinte relação

v = 2 g Δ h = 2 - 9.8 m s 2 0 m - 1 m = 4.43 m s

Temos que, se soltássemos a régua, de modo a ela cair igualmente em todos os ponto, sua velocidade final, seria menor do que do de uma de suas extremidades, caso a gente prendêssemos a outra, assim como foi sugerido no enunciado. Isso se dá porque, para o caso da régua cair livremente, todos os pontos carregam uma energia igual, ou seja, a régua distribui sua energia igualmente por todos os pontos. Para o caso de se prender uma de suas extremidades, existiram pontos que iram se movimentar com uma velocidade menor do que outros e assim buscando compensar a energia da régua, a velocidade na extremidade livre deve ser maior que no caso da queda livre.

Resposta

a) Δ U = - 0.784 J

b) 5.42 r a d s

c) 4.43 m s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dirigindo seu carro em uma estrada do interior, um cervo salta de dentro da mata e pára no meio da estrada, à sua frente. Isto ocorre exatamente quando você está saindo de zona de limite permitido de
Você deve testar um carro e avaliar seu desempenho em relação às especificações forecidas. O motor deste carro tem a potência alegada de 164 hp. Este é um valor de pico, o que significa que ele é capa
Uma barra delgada e uniforme de 3,80k g e 80,0c m de comprimento possui uma bola muito pequena de 2,50k g grudada em cada extremidade (Figura 10.52 ). Ela é sustentada horizontalmente por um eixo fino
Um disco oco uniforme possui dois pedaços de cabo leve e fino em torno da sua borda externa e está suspenso do teto (Figura 10.51). De repente um dos cabos se rompe, e o cabo restantenão desliza enqua
Dois pontos pertencem a um disco que gira, com velocidade angular crescente, em torno de um eixo fixo que passa perpendicularmente pelo centro do disco. Um ponto está na borda e o outro ponto está a m